Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Вычисление значений степенных выражений

Разберём выражение $\left(\frac{\sqrt{a}}{a^{1/3}}\right)^4$ пошагово.

Шаг 1: Приведём числитель и знаменатель к одному виду — степени числа $a$.

$\sqrt{a} = a^{1/2}$ (корень — это степень $1/2$)

$a^{1/3}$ уже записан как степень.

Шаг 2: Применим правило деления степеней.

Вспомним: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

$$\frac{a^{1/2}}{a^{1/3}} = a^{1/2 - 1/3} = a^{3/6 - 2/6} = a^{1/6}$$

Шаг 3: Возведём результат в степень 4.

Применим правило $(a^m)^n = a^{mn}$:

$$\left(a^{1/6}\right)^4 = a^{4/6} = a^{2/3}$$

Шаг 4: Подставим $a = 8$ и вычислим.

$$a^{2/3} = 8^{2/3}$$

Заметим: $8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

Проверка: $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.