Задача 77408. Вычисление значений степенных выражений

Переведём 0,5 в степень основания 2: $0,5 = 2^{-1}$.

Подставим в числитель: $$\frac{(2^{-1})^{\sqrt{10}-1}}{2^{-\sqrt{10}}}$$

Применим правило степеней $(a^m)^n = a^{mn}$. Числитель становится: $$(2^{-1})^{\sqrt{10}-1} = 2^{-1 \cdot (\sqrt{10}-1)} = 2^{-(\sqrt{10}-1)} = 2^{-\sqrt{10}+1}$$

Теперь дробь имеет вид: $$\frac{2^{-\sqrt{10}+1}}{2^{-\sqrt{10}}}$$

Разложим числитель, используя $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $$2^{-\sqrt{10}+1} = 2^{-\sqrt{10}} \cdot 2^1$$

Подставим: $$\frac{2^{-\sqrt{10}} \cdot 2^1}{2^{-\sqrt{10}}}$$

Сокращаем $2^{-\sqrt{10}}$ в числителе и знаменателе: $$\frac{2^{-\sqrt{10}} \cdot 2^1}{2^{-\sqrt{10}}} = 2^1 = 2$$