Задание 7 ЕГЭ: преобразования числовых тригонометрических выражений

О чём эта подтема

В задании 7 профильного ЕГЭ часто встречаются выражения, где числа синусов и косинусов подобраны так, что при применении формул тригонометрии всё сокращается до целого числа. Такие задачи не требуют вычисления самих значений тригонометрических функций конкретных углов — наоборот, идея в том, чтобы свернуть выражение по формуле и получить простую дробь, где числитель и знаменатель совпадают (или отличаются знаком).

Это одна из самых «формульных» подтем: если знать 3–4 ключевые тождества и уметь узнавать их в выражении «наоборот», задача решается за 30–60 секунд. Основная сложность — не в вычислениях, а в том, чтобы увидеть скрытую структуру формулы в числах и буквах.

Типичный вид задания: дробь, в числителе которой стоит произведение синуса и косинуса одного угла (или разность квадратов синуса и косинуса), а в знаменателе — синус или косинус угла, вдвое большего. Реже встречаются выражения с суммой/разностью углов или формулами понижения степени.

Что нужно знать

Для решения этой подтемы достаточно твёрдо помнить несколько формул.

Синус двойного угла: $$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

Отсюда следствие, которое используется чаще всего: $$\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$$

Косинус двойного угла (три равносильные формы, но для этой подтемы важнее всего первая): $$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$ $$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$$ $$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$$

Из первой формы следует полезное наблюдение: $$\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos 2\alpha$$

Это просто та же формула, взятая с обратным знаком — важно не путать порядок слагаемых.

Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Оно реже нужно именно в этой подтеме, но иногда помогает упростить промежуточные выражения.

Формулы синуса и косинуса суммы/разности углов (пригождаются, если в задании встречаются два разных угла, а не удвоение одного): $$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$

Важный технический момент — понимание того, что углы в градусах складываются и умножаются как числа: если в выражении есть $\sin 11°$ и $\cos 11°$, то удвоенный угол — это $22°$, и наоборот, если в знаменателе стоит $\sin 22°$, а в числителе фигурирует угол $11°$, это явный сигнал применить формулу двойного угла.

Никаких таблиц значений синусов и косинусов конкретных углов (кроме табличных 30°, 45°, 60° и им подобных) для этой подтемы не требуется — все нетабличные углы должны сократиться в процессе преобразования.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач этой подтемы почти всегда одинаков.

Шаг 1. Определить связь между углами. Посмотреть на все углы, которые встречаются в выражении, и понять, не является ли один из них удвоением другого. Если да — это прямой намёк на использование формулы двойного угла.

Шаг 2. Найти в числителе или знаменателе «половину» формулы. Формулы двойного угла редко даны в готовом виде — обычно в выражении стоит произведение $\sin\alpha\cos\alpha$ без множителя 2, или разность $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ с «неправильным» порядком знаков. Нужно преобразовать выражение так, чтобы получить точную формулу:

• если есть $\sin\alpha\cos\alpha$ — домножить и разделить на 2, чтобы получить $\frac{1}{2}\sin 2\alpha$;
• если есть $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ — вынести минус, чтобы получить $-\cos 2\alpha$.

Шаг 3. Подставить свёрнутое выражение обратно в дробь. После этого в числителе и знаменателе должна появиться одна и та же тригонометрическая функция от одного и того же угла (например, $\sin 22°$ и в числителе, и в знаменателе).

Шаг 4. Сократить одинаковые множители. Убедиться, что сокращаемое выражение не равно нулю (для углов от 0° до 90°, которые обычно встречаются в задании, это почти всегда так), и сократить дробь.

Шаг 5. Умножить оставшиеся числовые коэффициенты. После сокращения тригонометрической части остаётся простая числовая дробь или целое число — это и есть ответ.

Если в выражении встречаются два разных угла (не кратные друг другу), стоит проверить, не складываются или не вычитаются ли они до удобного значения, и попробовать применить формулы синуса/косинуса суммы или разности. Но в большинстве вариантов ЕГЭ задание 7 на эту подтему сводится именно к формулам двойного угла — они самые «ходовые».

Полезная привычка: перед тем как начинать преобразования, мысленно «примерить» на выражение обе формулы двойного угла — синуса и косинуса — и посмотреть, какая из них подходит по структуре (произведение синуса и косинуса — это признак формулы синуса удвоенного угла; разность квадратов — признак формулы косинуса удвоенного угла).

Разбор примера

Пример 1. Найдите значение выражения $\dfrac{12\sin 11°\cos 11°}{\sin 22°}$.

Шаг 1. Смотрим на углы: в числителе угол $11°$, в знаменателе — $22°$. Замечаем, что $22° = 2 \cdot 11°$, значит, знаменатель — это удвоенный угол числителя. Это прямой сигнал использовать формулу синуса двойного угла.

Шаг 2. В числителе стоит произведение $\sin 11° \cdot \cos 11°$ — это ровно та структура, которая появляется в формуле $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, только без множителя 2. Чтобы получить точную формулу, домножим и разделим на 2: $$\sin 11° \cdot \cos 11° = \frac{1}{2}\cdot 2\sin 11°\cos 11° = \frac{1}{2}\sin 22°$$

Шаг 3. Подставляем это выражение в исходную дробь вместо числителя: $$\frac{12\sin 11°\cos 11°}{\sin 22°} = \frac{12 \cdot \frac{1}{2}\sin 22°}{\sin 22°} = \frac{6\sin 22°}{\sin 22°}$$

Шаг 4. Так как угол $22°$ лежит в первой четверти, $\sin 22° \neq 0$, поэтому дробь можно сократить: $$\frac{6\sin 22°}{\sin 22°} = 6$$

Ответ: 6.

Пример 2. Найдите значение выражения $\dfrac{24(\sin^2 17° - \cos^2 17°)}{\cos 34°}$.

Шаг 1. Углы: в скобках угол $17°$, в знаменателе $34°$. Проверяем: $34° = 2 \cdot 17°$ — снова удвоение, значит, работаем с формулой косинуса двойного угла.

Шаг 2. В скобках стоит $\sin^2 17° - \cos^2 17°$ — это разность квадратов синуса и косинуса, но в «неправильном» порядке по сравнению с формулой $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Чтобы привести к нужному виду, вынесем минус: $$\sin^2 17° - \cos^2 17° = -(\cos^2 17° - \sin^2 17°)$$

Теперь выражение в скобках справа — это ровно формула косинуса двойного угла: $$\cos^2 17° - \sin^2 17° = \cos(2\cdot 17°) = \cos 34°$$

Подставляя обратно, получаем: $$\sin^2 17° - \cos^2 17° = -\cos 34°$$

Шаг 3. Подставляем в исходную дробь: $$\frac{24(\sin^2 17° - \cos^2 17°)}{\cos 34°} = \frac{24\cdot(-\cos 34°)}{\cos 34°} = \frac{-24\cos 34°}{\cos 34°}$$

Шаг 4. Угол $34°$ лежит в первой четверти, поэтому $\cos 34° \neq 0$, и дробь сокращается: $$\frac{-24\cos 34°}{\cos 34°} = -24$$

Ответ: −24.

Оба примера показывают одну и ту же логику: узнать в числах «половину» формулы двойного угла, аккуратно домножить/разделить или сменить знак, свернуть выражение и сократить одинаковые тригонометрические множители.

Типичные ошибки

Самая частая ошибка — забыть про коэффициент 2 при применении формулы синуса двойного угла. Например, вместо $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$ ошибочно пишут $\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$, теряя множитель $\frac{1}{2}$, что приводит к ответу, отличающемуся в два раза.

Вторая распространённая ошибка — путаница в порядке слагаемых в формуле косинуса двойного угла. Важно чётко помнить: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, а не наоборот. Если в выражении дана разность в обратном порядке ($\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$), обязательно нужно вынести знак минус, иначе итоговый ответ получит неверный знак.

Третья ошибка — попытка сразу вычислить значения $\sin 11°$, $\cos 17°$ и подобных нетабличных углов через калькулятор в уме или приближённо. Это лишняя и опасная работа: такие значения не являются табличными, и точный ответ через них не получить. Задача построена так, что все нетабличные углы должны сократиться — если в конце преобразований остался нетабличный угол, значит, где-то допущена ошибка в применении формулы.

Четвёртая ошибка — неверное определение связи между углами. Иногда путают удвоение угла со сложением углов или не замечают, что угол в знаменателе — это ровно удвоенный угол в числителе, особенно если числа не «круглые» (например, 17° и 34°, а не 15° и 30°). Полезно всегда явно проверять равенство $2\alpha = \beta$ перед тем как применять формулу.

Пятая ошибка — сокращение дроби без проверки, что знаменатель не равен нулю. Хотя в подавляющем большинстве заданий ЕГЭ углы подобраны так, что знаменатель не обращается в ноль, привычка проверять это (хотя бы мысленно, оценивая четверть угла) — признак аккуратного решения.

На что обратить внимание на экзамене

При встрече с заданием такого типа в первую очередь выпишите все углы, которые встречаются в выражении, и проверьте кратные соотношения между ними — чаще всего один угол ровно в два раза больше другого. Это сразу указывает, какую формулу двойного угла применять: синуса (если в выражении произведение синуса и косинуса) или косинуса (если разность квадратов синуса и косинуса).

Не бойтесь домножать и делить выражение на 2 или выносить минус — это стандартные и безопасные преобразования, которые не меняют значение выражения, а лишь приводят его к виду точной формулы. Делайте это аккуратно, не забывая перенести коэффициент через всё выражение.

После свёртывания формулы всегда проверяйте, что в числителе и знаменателе действительно получилась одна и та же тригонометрическая функция от одного и того же угла — именно это позволяет произвести сокращение и получить чистое число без тригонометрии в ответе.

Если после всех преобразований в ответе всё ещё остаётся тригонометрическая функция от нетабличного угла, это сигнал, что где-то в вычислениях допущена ошибка — стоит вернуться к формуле и перепроверить знаки и коэффициенты.

Наконец, держите под рукой (в памяти) весь список формул двойного угла в разных формах — иногда удобнее использовать не $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, а $2\cos^2\alpha - 1$ или $1 - 2\sin^2\alpha$, если в выражении встречается только одна тригонометрическая функция в квадрате, а не разность двух. Гибкость в выборе формы формулы часто ускоряет решение и снижает риск ошибки.