ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 77413. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.5 Формулы приведения

Найдите значение выражения дробь: числитель: 5 синус 74 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус 37 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на косинус 53 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Использование формулы приведения для замены косинуса на синус, а затем применение формулы двойного угла для упрощения произведения синуса и косинуса в знаменателе.

Начнём с того, что заметим связь между углами в знаменателе: 53°=90°−37°53° = 90° - 37°.

Шаг 1. Преобразуем косинус дополнительного угла: cos⁡53°=cos⁡(90°−37°)=sin⁡37°\cos 53° = \cos(90° - 37°) = \sin 37°

Это следует из формулы приведения: косинус угла равен синусу дополнительного угла.

Шаг 2. Подставим в исходное выражение: 5sin⁡74°cos⁡37°⋅sin⁡37°\frac{5\sin 74°}{\cos 37° \cdot \sin 37°}

Шаг 3. В знаменателе произведение cos⁡37°⋅sin⁡37°\cos 37° \cdot \sin 37° преобразуем по формуле синуса двойного угла. Вспомним: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha, откуда sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha.

Следовательно: cos⁡37°⋅sin⁡37°=12sin⁡74°\cos 37° \cdot \sin 37° = \frac{1}{2}\sin 74°

Шаг 4. Подставляем в дробь: 5sin⁡74°12sin⁡74°\frac{5\sin 74°}{\frac{1}{2}\sin 74°}

Шаг 5. Синусы сокращаются, остаётся: 512=5⋅2=10\frac{5}{\frac{1}{2}} = 5 \cdot 2 = 10

Типичные ошибки

  • Забыть применить формулу приведения и попытаться работать с косинусом и синусом разных углов без их связи
  • Неправильно применить формулу двойного угла — написать sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha вместо 12sin⁡2α\frac{1}{2}\sin 2\alpha
  • Не заметить, что 74°=2⋅37°74° = 2 \cdot 37°, из-за чего не сработает сокращение в конце

Ещё задачи этой подтемы