ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.7 Синус и косинус двойного угла1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения дробь: числитель: 12 синус 11 градусов умножить на косинус 11 градусов , знаменатель: синус 22 градусов конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Произведение синуса и косинуса одного угла всегда свёртывается в синус двойного угла через формулу 2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha, что позволяет сократить числитель и знаменатель.

Нужно упростить дробь 12sin⁡11°⋅cos⁡11°sin⁡22°\frac{12\sin 11° \cdot \cos 11°}{\sin 22°}.

Обратим внимание на числитель: произведение sin⁡11°⋅cos⁡11°\sin 11° \cdot \cos 11° выглядит как часть формулы синуса двойного угла.

Применим формулу: 2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha.

Умножим и разделим числитель на 2: sin⁡11°⋅cos⁡11°=12⋅2sin⁡11°cos⁡11°=12sin⁡22°\sin 11° \cdot \cos 11° = \frac{1}{2} \cdot 2\sin 11° \cos 11° = \frac{1}{2}\sin 22°

Подставим в исходную дробь: 12sin⁡11°⋅cos⁡11°sin⁡22°=12⋅12sin⁡22°sin⁡22°=6sin⁡22°sin⁡22°\frac{12\sin 11° \cdot \cos 11°}{\sin 22°} = \frac{12 \cdot \frac{1}{2}\sin 22°}{\sin 22°} = \frac{6\sin 22°}{\sin 22°}

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии sin⁡22°≠0\sin 22° \neq 0, что верно): 6sin⁡22°sin⁡22°=6\frac{6\sin 22°}{\sin 22°} = 6

Типичные ошибки

  • Забыть про коэффициент 2 в формуле двойного угла и написать sin⁡11°⋅cos⁡11°=sin⁡22°\sin 11° \cdot \cos 11° = \sin 22° (ошибка в множителе перед синусом).
  • Неправильно применить формулу, спутав её с формулой косинуса двойного угла (cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha).
  • Не заметить, что угол 22° — это ровно удвоенный угол 11°, и попытаться использовать другие преобразования вместо формулы двойного аргумента.
Непонятно?

Похожие задачи