ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 26758. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.2 Радианная мера угла1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения 36 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Вычислить табличные значения тригонометрических функций, затем аккуратно перемножить корни, заметив, что 3⋅2=6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}, что позволяет сократить это выражение со знаменателем.

Разберём вычисление пошагово.

Шаг 1: Находим значения тригонометрических функций

tan⁡π6=13=33\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} (тангенс 30° — это отношение синуса к косинусу)

sin⁡π4=22\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (синус 45° — табличное значение)

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение

366⋅tan⁡π6⋅sin⁡π4=366⋅33⋅2236\sqrt{6} \cdot \tan\frac{\pi}{6} \cdot \sin\frac{\pi}{4} = 36\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

Шаг 3: Упрощаем произведение дробей

366⋅3⋅23⋅2=366⋅6636\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{3 \cdot 2} = 36\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6}

Здесь 3⋅2=6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}, а 3⋅2=63 \cdot 2 = 6

Шаг 4: Вычисляем произведение

36⋅6⋅66=36⋅66=36⋅1=3636 \cdot \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}{6} = 36 \cdot \frac{6}{6} = 36 \cdot 1 = 36

При умножении корней: 6⋅6=6\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6

Типичные ошибки

  • Забывают рационализировать tan⁡π6\tan\frac{\pi}{6}: пишут 13\frac{1}{\sqrt{3}} вместо 33\frac{\sqrt{3}}{3}, что усложняет упрощение
  • Неправильно умножают корни: например, пишут 6⋅3⋅2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} вместо того чтобы сначала перемножить части дроби
  • Допускают ошибку при сокращении дроби: забывают, что 6⋅6=6\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6, а не остаётся 6\sqrt{6}

Ещё задачи этой подтемы