ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 26756. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.7 Синус и косинус двойного угла1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения дробь: числитель: 24 левая круглая скобка синус в квадрате 17 градусов минус косинус в квадрате 17 градусов правая круглая скобка , знаменатель: косинус 34 градусов конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Ключевой момент — распознать в выражении sin⁡217°−cos⁡217°\sin^2 17° - \cos^2 17° формулу косинуса двойного угла (с минусом) и применить её для замены на −cos⁡34°-\cos 34°, после чего дробь сокращается.

Преобразуем числитель, используя формулу косинуса двойного угла.

Выражение в скобках: sin⁡217°−cos⁡217°\sin^2 17° - \cos^2 17°

Умножим и разделим на −1-1: sin⁡217°−cos⁡217°=−(cos⁡217°−sin⁡217°)\sin^2 17° - \cos^2 17° = -(\cos^2 17° - \sin^2 17°)

Применим формулу [косинус двойного угла]: cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Тогда: cos⁡217°−sin⁡217°=cos⁡(2⋅17°)=cos⁡34°\cos^2 17° - \sin^2 17° = \cos(2 \cdot 17°) = \cos 34°

Подставим обратно: sin⁡217°−cos⁡217°=−cos⁡34°\sin^2 17° - \cos^2 17° = -\cos 34°

Теперь вернёмся к исходной дроби: 24(sin⁡217°−cos⁡217°)cos⁡34°=24⋅(−cos⁡34°)cos⁡34°\frac{24(\sin^2 17° - \cos^2 17°)}{\cos 34°} = \frac{24 \cdot (-\cos 34°)}{\cos 34°}

Сокращаем cos⁡34°\cos 34° в числителе и знаменателе (при условии cos⁡34°≠0\cos 34° \neq 0, что верно): −24cos⁡34°cos⁡34°=−24\frac{-24 \cos 34°}{\cos 34°} = -24

Типичные ошибки

  • Забывают знак минус при преобразовании sin⁡217°−cos⁡217°=−(cos⁡217°−sin⁡217°)\sin^2 17° - \cos^2 17° = -(\cos^2 17° - \sin^2 17°) и получают +cos⁡34°+\cos 34° вместо −cos⁡34°-\cos 34°
  • Не узнают формулу двойного угла и пытаются вычислять sin⁡17°\sin 17° и cos⁡17°\cos 17° отдельно, что приводит к ошибкам
  • Неправильно применяют формулу: используют cos⁡2α=sin⁡2α−cos⁡2α\cos 2\alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha вместо cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

Ещё задачи этой подтемы