Задача 26759. Преобразования числовых тригонометрических выражений

Найдём значение выражения $4\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{3}$.

Шаг 1: Упростим косинус второго аргумента.

Угол $\frac{7\pi}{3}$ больше $2\pi$, поэтому используем периодичность косинуса. Вычтем полный оборот: $$\cos\frac{7\pi}{3} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3}$$

Потому что косинус имеет период $2\pi$, и отбрасывание полных оборотов не меняет значение.

Шаг 2: Найдём значения известных косинусов.

$$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Это табличные значения.

Шаг 3: Подставим и упростим.

$$4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$

Умножим первые два множителя: $$4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot \frac{2}{2} = 4$$

Теперь умножим на третий множитель: $$4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$