ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.2 Радианная мера угла1.4.4 Преобразования тригонометрических выражений

Найдите значение выражения 4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби косинус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Периодичность косинуса позволяет свести угол 7π3\frac{7\pi}{3} к табличному значению cos⁡π3\cos\frac{\pi}{3}, после чего произведение вычисляется через известные значения тригонометрических функций.

Найдём значение выражения 42cos⁡π4cos⁡7π34\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{3}.

Шаг 1: Упростим косинус второго аргумента.

Угол 7π3\frac{7\pi}{3} больше 2π2\pi, поэтому используем периодичность косинуса. Вычтем полный оборот: cos⁡7π3=cos⁡(2π+π3)=cos⁡π3\cos\frac{7\pi}{3} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3}

Потому что косинус имеет период 2π2\pi, и отбрасывание полных оборотов не меняет значение.

Шаг 2: Найдём значения известных косинусов.

cos⁡π4=22\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

Это табличные значения.

Шаг 3: Подставим и упростим.

42⋅22⋅124\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}

Умножим первые два множителя: 42⋅22=4⋅22=44\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot \frac{2}{2} = 4

Теперь умножим на третий множитель: 4⋅12=24 \cdot \frac{1}{2} = 2

Типичные ошибки

  • Забыть применить периодичность и попытаться вычислить косинус с неудобным углом напрямую
  • Ошибиться при вычитании полного оборота: 7π3−2π=7π−6π3=π3\frac{7\pi}{3} - 2\pi = \frac{7\pi - 6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}
  • Неправильно перемножить дроби и корни, например перепутать порядок умножения или ошибиться в упрощении 2⋅2=2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2
Непонятно?

Похожие задачи