Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

Упростим аргументы тригонометрических функций, выделив полные периоды.

Шаг 1: Преобразуем синус

$\sin\left(-\frac{27\pi}{4}\right)$

Разделим: $-\frac{27\pi}{4} = -\frac{28\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -7\pi + \frac{\pi}{4}$

Поскольку $\sin(x - 2\pi k) = \sin(x)$ для целого $k$, и $-7\pi = -6\pi - \pi = -3 \cdot 2\pi - \pi$:

$\sin\left(-7\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(-\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(Используем $\sin(-\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$ и $\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$)

Шаг 2: Преобразуем косинус

$\cos\left(\frac{31\pi}{4}\right)$

Разделим: $\frac{31\pi}{4} = \frac{32\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 8\pi - \frac{\pi}{4}$

Поскольку $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ и $8\pi = 4 \cdot 2\pi$:

$\cos\left(8\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 3: Вычислим дробь

$$\frac{8}{\sin\left(-\frac{27\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{31\pi}{4}\right)} = \frac{8}{-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{-\frac{2}{4}} = \frac{8}{-\frac{1}{2}} = -16$$