ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 26771. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите значение выражения 7 тангенс 13 градусов умножить на тангенс 77 градусов .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Использовать свойство дополнительных углов: если два угла в сумме дают 90°, то тангенс одного равен котангенсу другого, и их произведение с одним углом даёт единицу.

Заметим, что углы 13° и 77° связаны: 13°+77°=90°13° + 77° = 90°. Это означает, что они дополняют друг друга до прямого угла.

Для дополнительных углов (углов, сумма которых равна 90°) верно соотношение: tan⁡α=cot⁡(90°−α)\tan \alpha = \cot(90° - \alpha).

Применим это свойство к первому множителю. Угол 13° дополняет 77° до 90°, поэтому: tan⁡13°=cot⁡77°\tan 13° = \cot 77°

Подставим в исходное выражение: 7tan⁡13°⋅tan⁡77°=7cot⁡77°⋅tan⁡77°7 \tan 13° \cdot \tan 77° = 7 \cot 77° \cdot \tan 77°

Произведение котангенса и тангенса одного и того же угла равно 1, так как: cot⁡77°⋅tan⁡77°=cos⁡77°sin⁡77°⋅sin⁡77°cos⁡77°=1\cot 77° \cdot \tan 77° = \frac{\cos 77°}{\sin 77°} \cdot \frac{\sin 77°}{\cos 77°} = 1

Отсюда получаем: 7cot⁡77°⋅tan⁡77°=7⋅1=77 \cot 77° \cdot \tan 77° = 7 \cdot 1 = 7

Типичные ошибки

  • Забыть применить свойство дополнительных углов и пытаться вычислить тангенсы 13° и 77° через калькулятор
  • Не заметить, что tan⁡13°=cot⁡77°\tan 13° = \cot 77°, а не tan⁡77°\tan 77°
  • Ошибиться в произведении: написать tan⁡77°⋅tan⁡77°=tan⁡277°\tan 77° \cdot \tan 77° = \tan^2 77° вместо cot⁡77°⋅tan⁡77°=1\cot 77° \cdot \tan 77° = 1

Ещё задачи этой подтемы