Задача 245170. Преобразования числовых тригонометрических выражений

Шаг 1: Вынесем общий множитель

Выражение имеет вид: $\sqrt{3}\cos^2\frac{5\pi}{12} - \sqrt{3}\sin^2\frac{5\pi}{12}$

Вынесем $\sqrt{3}$ за скобки: $$\sqrt{3}\left(\cos^2\frac{5\pi}{12} - \sin^2\frac{5\pi}{12}\right)$$

Шаг 2: Применим формулу косинуса двойного угла

Вспомним, что $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$.

Подставим $\alpha = \frac{5\pi}{12}$: $$\sqrt{3}\cos\left(2 \cdot \frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos\frac{5\pi}{6}$$

Шаг 3: Приведём угол к известному значению

Угол $\frac{5\pi}{6}$ лежит во второй четверти. Представим его как: $$\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$$

Шаг 4: Используем формулу приведения

По формуле приведения: $\cos(\pi - \beta) = -\cos\beta$

Поэтому: $$\cos\frac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6}$$

Шаг 5: Подставим табличное значение

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно: $$\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2} = -1,5$$