ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.5 Формулы приведения

Найдите значение выражения дробь: числитель: 5 синус 98 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: синус 49 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на синус 41 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Используй формулу синуса дополнительного угла, чтобы свести знаменатель к произведению sin⁡49°⋅cos⁡49°\sin 49° \cdot \cos 49°, а затем примени формулу двойного угла для упрощения числителя.

Начнём с того, что заметим связь между углами в знаменателе.

Шаг 1. Переведём угол 41° через дополнительный угол: sin⁡41°=sin⁡(90°−49°)=cos⁡49°\sin 41° = \sin(90° - 49°) = \cos 49°

Это следует из формулы sin⁡(90°−α)=cos⁡α\sin(90° - \alpha) = \cos \alpha [синус дополнительного угла равен косинусу].

Шаг 2. Подставим в исходное выражение: 5sin⁡98°sin⁡49°⋅sin⁡41°=5sin⁡98°sin⁡49°⋅cos⁡49°\frac{5\sin 98°}{\sin 49° \cdot \sin 41°} = \frac{5\sin 98°}{\sin 49° \cdot \cos 49°}

Шаг 3. Упростим числитель, применив формулу двойного угла. Заметим, что 98°=2×49°98° = 2 \times 49°, поэтому: sin⁡98°=sin⁡(2×49°)=2sin⁡49°cos⁡49°\sin 98° = \sin(2 \times 49°) = 2\sin 49° \cos 49°

Это формула [синус двойного угла: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha].

Шаг 4. Подставим в дробь: 5⋅2sin⁡49°cos⁡49°sin⁡49°⋅cos⁡49°\frac{5 \cdot 2\sin 49° \cos 49°}{\sin 49° \cdot \cos 49°}

Шаг 5. Сократим sin⁡49°\sin 49° и cos⁡49°\cos 49° в числителе и знаменателе: 5⋅2⋅sin⁡49°cos⁡49°sin⁡49°cos⁡49°=5⋅2=10\frac{5 \cdot 2 \cdot \cancel{\sin 49° \cos 49°}}{\cancel{\sin 49° \cos 49°}} = 5 \cdot 2 = 10

Типичные ошибки

  • Забыли преобразовать sin⁡41°\sin 41° в cos⁡49°\cos 49° и попытались считать сразу — это приведёт к ненужным сложностям.
  • Неправильно применили формулу двойного угла или спутали, какой именно угол удвоен.
  • Забыли сократить общие множители в числителе и знаменателе после подстановки.
Непонятно?

Похожие задачи