Задача 77412. Преобразования числовых тригонометрических выражений

Начнём с того, что заметим связь между углами в знаменателе.

Шаг 1. Переведём угол 41° через дополнительный угол: $$\sin 41° = \sin(90° - 49°) = \cos 49°$$

Это следует из формулы $\sin(90° - \alpha) = \cos \alpha$ [синус дополнительного угла равен косинусу].

Шаг 2. Подставим в исходное выражение: $$\frac{5\sin 98°}{\sin 49° \cdot \sin 41°} = \frac{5\sin 98°}{\sin 49° \cdot \cos 49°}$$

Шаг 3. Упростим числитель, применив формулу двойного угла. Заметим, что $98° = 2 \times 49°$, поэтому: $$\sin 98° = \sin(2 \times 49°) = 2\sin 49° \cos 49°$$

Это формула [синус двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$].

Шаг 4. Подставим в дробь: $$\frac{5 \cdot 2\sin 49° \cos 49°}{\sin 49° \cdot \cos 49°}$$

Шаг 5. Сократим $\sin 49°$ и $\cos 49°$ в числителе и знаменателе: $$\frac{5 \cdot 2 \cdot \cancel{\sin 49° \cos 49°}}{\cancel{\sin 49° \cos 49°}} = 5 \cdot 2 = 10$$