ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 26767. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.5 Формулы приведения

Найдите значение выражения дробь: числитель: 5 тангенс 163 градусов, знаменатель: тангенс 17 градусов конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Представить 163° как разность 180° и 17°, затем использовать формулу приведения для тангенса угла вида (180° − α).

Заметим, что 163°=180°−17°163° = 180° - 17°. Подставим это в исходное выражение:

5tan⁡163°tan⁡17°=5tan⁡(180°−17°)tan⁡17°\frac{5\tan 163°}{\tan 17°} = \frac{5\tan(180° - 17°)}{\tan 17°}

Применим формулу приведения для тангенса: tan⁡(180°−α)=−tan⁡α\tan(180° - \alpha) = -\tan \alpha.

Эта формула работает потому, что угол (180°−α)(180° - \alpha) находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен, поэтому их отношение (тангенс) имеет знак минус и отличается от исходного на этот знак.

Получаем: 5tan⁡(180°−17°)tan⁡17°=5⋅(−tan⁡17°)tan⁡17°\frac{5\tan(180° - 17°)}{\tan 17°} = \frac{5 \cdot (-\tan 17°)}{\tan 17°}

Сокращаем tan⁡17°\tan 17° в числителе и знаменателе: −5tan⁡17°tan⁡17°=−5\frac{-5\tan 17°}{\tan 17°} = -5

Типичные ошибки

  • Забыли применить формулу приведения и оставили tan 163° в виде, не заметив связь с 17°
  • Ошибочно применили формулу: например, написали tan(180° − α) = tan α вместо −tan α
  • Невнимательно прочитали, что в числителе коэффициент 5, и не включили его в финальный ответ

Ещё задачи этой подтемы