Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

Шаг 1: применяем формулу двойного угла для синуса

Вспомним формулу: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$

В нашем выражении есть произведение $\sin\frac{5\pi}{12} \cdot \cos\frac{5\pi}{12}$. Если вынесем из восьмёрки четвёрку, получим:

$$8\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} = 4 \cdot 2\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} = 4\sin\left(2 \cdot \frac{5\pi}{12}\right) = 4\sin\frac{5\pi}{6}$$

Шаг 2: приводим угол к известному значению

Аргумент синуса — это $\frac{5\pi}{6}$. Заметим, что $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ (проверка: $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ ✓)

Шаг 3: применяем формулу приведения

Для углов вида $\pi - x$ верна формула: $\sin(\pi - x) = \sin x$

Поэтому: $$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6}$$

Шаг 4: подставляем табличное значение

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ (это стандартное значение)

$$4\sin\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$