ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 26773. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.5 Формулы приведения

Найдите значение выражения дробь: числитель: 6, знаменатель: косинус в квадрате 23 градусов плюс косинус в квадрате 113 градусов конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Использование формулы приведения cos⁡(90°+α)=−sin⁡α\cos(90° + \alpha) = -\sin \alpha и основного тригонометрического тождества cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 позволяют свести знаменатель к единице.

Нужно найти значение дроби 6cos⁡223°+cos⁡2113°\frac{6}{\cos^2 23° + \cos^2 113°}.

Шаг 1. Заметим, что угол 113° можно представить как сумму: 113°=90°+23°113° = 90° + 23°.

Пеепишем знаменатель: cos⁡223°+cos⁡2(90°+23°)\cos^2 23° + \cos^2(90° + 23°)

Шаг 2. Применим формулу приведения для косинуса: cos⁡(90°+α)=−sin⁡α\cos(90° + \alpha) = -\sin \alpha.

Получаем: cos⁡(90°+23°)=−sin⁡23°\cos(90° + 23°) = -\sin 23°

Шаг 3. Найдём квадрат этого выражения: cos⁡2(90°+23°)=(−sin⁡23°)2=sin⁡223°\cos^2(90° + 23°) = (-\sin 23°)^2 = \sin^2 23°

(Квадрат минуса — всегда положительное число.)

Шаг 4. Подставим в знаменатель: cos⁡223°+sin⁡223°\cos^2 23° + \sin^2 23°

Шаг 5. Применим основное тригонометрическое тождество: cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1.

Знаменатель равен 1.

Шаг 6. Вычислим дробь: 61=6\frac{6}{1} = 6

Типичные ошибки

  • Забыть применить формулу приведения и попытаться вычислить косинусы 23° и 113° напрямую через таблицы.
  • Ошибка в формуле приведения: написать cos⁡(90°+α)=sin⁡α\cos(90° + \alpha) = \sin \alpha вместо −sin⁡α-\sin \alpha, что приведёт к неправильному знаку.
  • Не заметить, что 113° = 90° + 23°, и не применить формулу приведения вообще.

Ещё задачи этой подтемы