Задача 502994. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.3 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите значение выражения

$минус дробь: числитель: 4, знаменатель: синус в квадрате 27 градусов плюс синус в квадрате 117 градусов конец дроби .$

В подтеме 32 задач

Разбор

Главная идея: Представить 117° как 90° + 27°, применить формулу приведения

\sin(90° + \alpha) = \cos \alpha

, чтобы свести знаменатель к основному тригонометрическому тождеству

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Нужно найти значение выражения $-\frac{4}{\sin^2 27° + \sin^2 117°}$ .

Шаг 1. Заметим, что $117° = 90° + 27°$ . Подставим это в знаменатель: $-\frac{4}{\sin^2 27° + \sin^2(90° + 27°)}$

Шаг 2. Применим формулу приведения. Для угла $(90° + \alpha)$ верно: $\sin(90° + \alpha) = \cos \alpha$

Поэтому $\sin(90° + 27°) = \cos 27°$ . Подставляем: $-\frac{4}{\sin^2 27° + \cos^2 27°}$

Шаг 3. В знаменателе получилась основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 27° + \cos^2 27° = 1$

Шаг 4. Вычислим: $-\frac{4}{1} = -4$

Вся задача сводится к узнаванию формулы приведения и применению основного тригонометрического тождества.

Забыть, что $\sin(90° + \alpha) = \cos \alpha$ , а не $-\cos \alpha$ или $\sin \alpha$
Ошибиться в представлении угла 117°, неправильно его разложить
Забыть, что сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна 1

Ещё задачи этой подтемы