ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.3 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите значение выражения корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Применить формулу двойного угла для косинуса к выражению 1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha, затем использовать формулы приведения и табличные значения тригонометрических функций.

Заметим, что 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3}, поэтому исходное выражение можно переписать как: 3−23sin⁡25π12\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\sin^2\frac{5\pi}{12}

Вынесем общий множитель 3\sqrt{3}: 3(1−2sin⁡25π12)\sqrt{3}\left(1 - 2\sin^2\frac{5\pi}{12}\right)

Спользуем формулу косинуса двойного угла: cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha. В нашем случае α=5π12\alpha = \frac{5\pi}{12}, поэтому 2α=5π62\alpha = \frac{5\pi}{6}: 3cos⁡5π6\sqrt{3}\cos\frac{5\pi}{6}

Преобразуем угол 5π6\frac{5\pi}{6}: 5π6=π−π6\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}

Применим формулу приведения cos⁡(π−β)=−cos⁡β\cos(\pi - \beta) = -\cos\beta: 3cos⁡(π−π6)=−3cos⁡π6\sqrt{3}\cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}

Подставляем значение cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}: −3⋅32=−32=−1,5-\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2} = -1,5

Типичные ошибки

  • Забыть вынести общий множитель 3\sqrt{3} перед скобкой
  • Ошибиться в преобразовании угла 5π6\frac{5\pi}{6} или применении формулы приведения
  • Неправильно вычислить произведение 3⋅32\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — получить 62\frac{\sqrt{6}}{2} вместо 32\frac{3}{2}
Непонятно?

Похожие задачи