Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

Начнём с преобразования коэффициента перед косинусом. Заметим, что $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Тогда исходное выражение принимает вид:

$$2\sqrt{3}\cos^2\frac{5\pi}{12} - \sqrt{3}$$

Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3}\left(2\cos^2\frac{5\pi}{12} - 1\right)$$

В скобках узнаём формулу косинуса двойного угла $2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha$. Применим её:

$$\sqrt{3}\cos\left(2 \cdot \frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos\frac{5\pi}{6}$$

Преобразуем аргумент косинуса. Заметим, что $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$. Используя формулу приведения $\cos(\pi - \beta) = -\cos\beta$:

$$\sqrt{3}\cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}$$

Знаем, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$$-\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2} = -1,5$$