ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 245171. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.3 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите значение выражения корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента косинус в квадрате дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Вынести общий множитель и применить формулу косинуса двойного угла для свёртки квадрата косинуса, затем использовать формулу приведения для упрощения аргумента.

Начнём с преобразования коэффициента перед косинусом. Заметим, что 12=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}. Тогда исходное выражение принимает вид:

23cos⁡25π12−32\sqrt{3}\cos^2\frac{5\pi}{12} - \sqrt{3}

Вынесем общий множитель 3\sqrt{3}:

3(2cos⁡25π12−1)\sqrt{3}\left(2\cos^2\frac{5\pi}{12} - 1\right)

В скобках узнаём формулу косинуса двойного угла 2cos⁡2α−1=cos⁡2α2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha. Применим её:

3cos⁡(2⋅5π12)=3cos⁡5π6\sqrt{3}\cos\left(2 \cdot \frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos\frac{5\pi}{6}

Преобразуем аргумент косинуса. Заметим, что 5π6=π−π6\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}. Используя формулу приведения cos⁡(π−β)=−cos⁡β\cos(\pi - \beta) = -\cos\beta:

3cos⁡(π−π6)=−3cos⁡π6\sqrt{3}\cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6}

Знаем, что cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, поэтому:

−3⋅32=−32=−1,5-\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2} = -1,5

Типичные ошибки

  • Ошибка в упрощении 12\sqrt{12} — забывают, что это 232\sqrt{3}, а не просто 3\sqrt{3}
  • Неправильное применение формулы приведения — например, забывают, что cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha, а не cos⁡α\cos\alpha
  • Вычислительная ошибка при умножении 3⋅32\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — не учитывают, что 3⋅3=3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3

Ещё задачи этой подтемы