ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 26766. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.5 Формулы приведения

Найдите значение выражения дробь: числитель: 4 косинус 146 градусов , знаменатель: косинус 34 градусов конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Используя формулу приведения cos⁡(180°−α)=−cos⁡α\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha, свести выражение к одинаковым тригонометрическим функциям в числителе и знаменателе, а затем их сократить.

Заметим, что угол 146° можно выразить через 34°, так как они связаны: 146° = 180° − 34°.

Подставим это в исходное выражение: 4cos⁡146°cos⁡34°=4cos⁡(180°−34°)cos⁡34°\frac{4\cos 146°}{\cos 34°} = \frac{4\cos(180° - 34°)}{\cos 34°}

Применим формулу приведения для косинуса: cos⁡(180°−α)=−cos⁡α\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha.

Эта формула работает потому, что угол (180° − α) лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, и его абсолютное значение равно косинусу дополнительного острого угла α.

Получаем: 4cos⁡(180°−34°)cos⁡34°=4⋅(−cos⁡34°)cos⁡34°\frac{4\cos(180° - 34°)}{\cos 34°} = \frac{4 \cdot (-\cos 34°)}{\cos 34°}

Теперь числитель и знаменатель содержат cos⁡34°\cos 34°. Сокращаем на этот множитель (он ненулевой): −4cos⁡34°cos⁡34°=−4\frac{-4\cos 34°}{\cos 34°} = -4

Типичные ошибки

  • Забыть знак минус при применении формулы приведения и получить ответ 4 вместо −4
  • Неправильно разложить 146° (например, через 90° + 56° вместо 180° − 34°), что приведёт к усложнению вычислений
  • Не заметить связь между углами 146° и 34° и попытаться вычислять косинусы напрямую через таблицы или калькулятор

Ещё задачи этой подтемы