Задача 26764. Преобразования числовых тригонометрических выражений

Вычислим выражение $24\sqrt{2}\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$.

Шаг 1. Применим свойства чётности и нечётности тригонометрических функций.

Косинус — чётная функция: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, поэтому $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3}$.

Синус — нечётная функция: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, поэтому $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{4}$.

Получаем: $24\sqrt{2} \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \left(-\sin\frac{\pi}{4}\right)$

Шаг 2. Подставим табличные значения тригонометрических функций.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ (косинус 60° равен половине)

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (синус 45° равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$)

Шаг 3. Подставим значения в выражение.

$$24\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Шаг 4. Упростим произведение.

$$24\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 24 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}\right) = 24 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{2}\right) = 24 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) = 12 \cdot (-1) = -12$$