ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.5 Формулы приведения

Найдите значение выражения  дробь: числитель: 12, знаменатель: синус в квадрате 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус в квадрате 207 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Свести знаменатель к основному тригонометрическому тождеству, применив формулу приведения для того, чтобы переписать cos⁡2207°\cos^2 207° через cos⁡227°\cos^2 27°.

Нужно упростить знаменатель дроби, используя формулы приведения.

Шаг 1: Разложим угол 207°

Заметим, что 207°=180°+27°207° = 180° + 27°. Это позволит применить формулу приведения.

Шаг 2: Применим формулу приведения для косинуса

Для угла вида (180°+α)(180° + \alpha) справедливо: cos⁡2(180°+α)=cos⁡2α\cos^2(180° + \alpha) = \cos^2 \alpha

Это верно, потому что cos⁡(180°+α)=−cos⁡α\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha, и при возведении в квадрат минус исчезает: (−cos⁡α)2=cos⁡2α(-\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha.

Тогда: cos⁡2207°=cos⁡2(180°+27°)=cos⁡227°\cos^2 207° = \cos^2(180° + 27°) = \cos^2 27°

Шаг 3: Подставим в исходное выражение

12sin⁡227°+cos⁡2207°=12sin⁡227°+cos⁡227°\frac{12}{\sin^2 27° + \cos^2 207°} = \frac{12}{\sin^2 27° + \cos^2 27°}

Шаг 4: Применим основное тригонометрическое тождество

Для любого угла верно: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

Поэтому: 12sin⁡227°+cos⁡227°=121=12\frac{12}{\sin^2 27° + \cos^2 27°} = \frac{12}{1} = 12

Типичные ошибки

  • Забыть, что формула приведения cos⁡(180°+α)=−cos⁡α\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha при возведении в квадрат становится cos⁡2(180°+α)=cos⁡2α\cos^2(180° + \alpha) = \cos^2\alpha, и неправильно применить знак минуса
  • Не заметить, что 207° = 180° + 27°, и попытаться использовать другие формулы приведения
  • Неправильно применить основное тригонометрическое тождество или забыть, что сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна 1
Непонятно?

Похожие задачи