ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 503310. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.3 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите значения выражения дробь: числитель: 23, знаменатель: синус в квадрате 56 градусов плюс 1 плюс синус в квадрате 146 градусов конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Использовать формулы приведения для sin⁡146°\sin 146° и дополнительные углы, чтобы выразить sin⁡2146°\sin^2 146° через cos⁡256°\cos^2 56°, а затем применить основное тригонометрическое тождество.

Преобразуем знаменатель дроби, упростив sin⁡2146°\sin^2 146°.

Шаг 1: Применим формулу приведения. Заметим, что 146°=180°−34°146° = 180° - 34°, поэтому: sin⁡146°=sin⁡(180°−34°)=sin⁡34°\sin 146° = \sin(180° - 34°) = \sin 34°

Следовательно: sin⁡2146°=sin⁡234°\sin^2 146° = \sin^2 34°

Шаг 2: Найдём связь между sin⁡34°\sin 34° и sin⁡56°\sin 56°. Заметим, что 34°+56°=90°34° + 56° = 90°, то есть углы дополнительные. По формуле sin⁡(90°−α)=cos⁡α\sin(90° - \alpha) = \cos \alpha: sin⁡34°=sin⁡(90°−56°)=cos⁡56°\sin 34° = \sin(90° - 56°) = \cos 56°

Поэтому: sin⁡2146°=sin⁡234°=cos⁡256°\sin^2 146° = \sin^2 34° = \cos^2 56°

Шаг 3: Подставим в знаменатель: sin⁡256°+1+sin⁡2146°=sin⁡256°+1+cos⁡256°\sin^2 56° + 1 + \sin^2 146° = \sin^2 56° + 1 + \cos^2 56°

Шаг 4: Применим основное тригонометрическое тождество sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1: sin⁡256°+cos⁡256°+1=1+1=2\sin^2 56° + \cos^2 56° + 1 = 1 + 1 = 2

Шаг 5: Вычислим дробь: 232=11,5\frac{23}{2} = 11,5

Типичные ошибки

  • Ошибка в формуле приведения: неправильное применение sin⁡(180°−α)\sin(180° - \alpha), что даёт неверное преобразование sin⁡146°\sin 146°
  • Непоэтнимание связи между дополнительными углами: забывают, что sin⁡34°=cos⁡56°\sin 34° = \cos 56° при условии 34°+56°=90°34° + 56° = 90°
  • Вычислительная ошибка: неправильное сложение sin⁡256°+cos⁡256°\sin^2 56° + \cos^2 56°, приводящее к неверному знаменателю вместо 2

Ещё задачи этой подтемы