Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

Вычислим выражение пошагово, подставляя значения тригонометрических функций.

Шаг 1. Найдём значения тригонометрических функций в нужных точках:

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (табличное значение для угла 60°)

$\cos 2\pi = 1$ (косинус полного оборота)

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (табличное значение для угла 45°)

$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$ (синус угла 270°, третья четверть)

Шаг 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$$\sqrt{3} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos 2\pi + \sqrt{2} \cdot \cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{3\pi}{2}$$

$$= \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-1)$$

Шаг 3. Упростим каждое слагаемое:

Первое слагаемое: $\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ (произведение одинаковых корней)

Второе слагаемое: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-1) = \frac{2}{2} \cdot (-1) = -1$

Шаг 4. Сложим результаты:

$$\frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$$