Задача 501701. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.3 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите значение выражения $минус 50 тангенс 9 градусов умножить на тангенс 81 градусов плюс 31.$

В подтеме 32 задач

Разбор

Главная идея: Углы 9° и 81° дополняют друг друга до 90°, поэтому тангенс одного равен котангенсу другого, и их произведение даёт единицу.

Ключ к решению — заметить связь между углами 9° и 81°.

Замечаем, что $81° = 90° - 9°$ , поэтому по формуле дополнительных углов: $\tan 81° = \tan(90° - 9°) = \cot 9°$

Подставляем это в исходное выражение: $-50\tan 9° \cdot \tan 81° + 31 = -50\tan 9° \cdot \cot 9° + 31$

Используем основное тригонометрическое тождество: произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1: $\tan 9° \cdot \cot 9° = 1$

Получаем: $-50 \cdot 1 + 31 = -50 + 31 = -19$

Забыть, что $\tan(90° - \alpha) = \cot \alpha$ , и попытаться вычислить тангенсы численно
Ошибиться в произведении $\tan 9° \cdot \cot 9°$ , приняв его за 0 вместо 1
Неправильно определить связь между углами и не заметить их дополнительность

Ещё задачи этой подтемы