ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 704178. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 7

Найдите значение выражения минус 8 косинус 15 градусов умножить на косинус 105 градусов.

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Преобразуйте косинус тупого угла через формулу приведения в синус, затем применитеформулу произведения синуса и косинуса одного угла.

Заметим, что 105°=90°+15°105° = 90° + 15°, поэтому:

cos⁡105°=cos⁡(90°+15°)=−sin⁡15°\cos 105° = \cos(90° + 15°) = -\sin 15°

Подставляем в исходное выражение:

−8cos⁡15°⋅cos⁡105°=−8cos⁡15°⋅(−sin⁡15°)=8cos⁡15°⋅sin⁡15°-8\cos 15° \cdot \cos 105° = -8\cos 15° \cdot (-\sin 15°) = 8\cos 15° \cdot \sin 15°

Теперь используем формулу двойного угла: 2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha.

Умножим и разделим на 2:

8cos⁡15°⋅sin⁡15°=4⋅(2sin⁡15°cos⁡15°)=4sin⁡30°8\cos 15° \cdot \sin 15° = 4 \cdot (2\sin 15° \cos 15°) = 4\sin 30°

Вычисляем синус табличного угла:

4sin⁡30°=4⋅12=24\sin 30° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2

Типичные ошибки

  • Забыли сменить знак при применении формулы приведения cos⁡(90°+α)=−sin⁡α\cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha
  • Неправильно применили формулу двойного угла — забыли коэффициент 2 или неверно его расставили
  • Ошибка в табличном значении: написали sin⁡30°=32\sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} вместо 12\frac{1}{2}

Ещё задачи этой подтемы