ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите значение выражения 5 тангенс 17 градусов умножить на тангенс 107 градусов .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Представить 107° как 90° + 17°, применить формулу приведения для тангенса и использовать тот факт, что произведение тангенса и котангенса одного угла равно единице.

Заметим, что угол 107° можно представить как сумму: 107°=90°+17°107° = 90° + 17°.

Применим формулу приведения для тангенса. Когда аргумент имеет вид (90°+α)(90° + \alpha), используется соотношение: tan⁡(90°+α)=−cot⁡α\tan(90° + \alpha) = -\cot \alpha

В нашем случае α=17°\alpha = 17°, поэтому: tan⁡107°=tan⁡(90°+17°)=−cot⁡17°\tan 107° = \tan(90° + 17°) = -\cot 17°

Подставим это в исходное выражение: 5tan⁡17°⋅tan⁡107°=5tan⁡17°⋅(−cot⁡17°)5 \tan 17° \cdot \tan 107° = 5 \tan 17° \cdot (-\cot 17°)

Упростим произведение. Вспомним, что котангенс — это обратная функция для тангенса: cot⁡17°=1tan⁡17°\cot 17° = \frac{1}{\tan 17°}

Поэтому: 5tan⁡17°⋅(−cot⁡17°)=5tan⁡17°⋅(−1tan⁡17°)=−55 \tan 17° \cdot (-\cot 17°) = 5 \tan 17° \cdot \left(-\frac{1}{\tan 17°}\right) = -5

Тангенс и котангенс одного и того же угла взаимно сокращаются, оставляя только коэффициент −5-5.

Типичные ошибки

  • Забыть про знак минус в формуле приведения tan⁡(90°+α)=−cot⁡α\tan(90° + \alpha) = -\cot \alpha
  • Неправильно применить формулу приведения или спутать, для какого аргумента она работает
  • При произведении tan⁡17°⋅cot⁡17°\tan 17° \cdot \cot 17° забыть, что это равно 1, а не 0
Непонятно?

Похожие задачи