Задача 26770. Преобразования числовых тригонометрических выражений

Заметим, что угол 107° можно представить как сумму: $107° = 90° + 17°$.

Применим формулу приведения для тангенса. Когда аргумент имеет вид $(90° + \alpha)$, используется соотношение: $$\tan(90° + \alpha) = -\cot \alpha$$

В нашем случае $\alpha = 17°$, поэтому: $$\tan 107° = \tan(90° + 17°) = -\cot 17°$$

Подставим это в исходное выражение: $$5 \tan 17° \cdot \tan 107° = 5 \tan 17° \cdot (-\cot 17°)$$

Упростим произведение. Вспомним, что котангенс — это обратная функция для тангенса: $$\cot 17° = \frac{1}{\tan 17°}$$

Поэтому: $$5 \tan 17° \cdot (-\cot 17°) = 5 \tan 17° \cdot \left(-\frac{1}{\tan 17°}\right) = -5$$

Тангенс и котангенс одного и того же угла взаимно сокращаются, оставляя только коэффициент $-5$.