ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задача 510312. Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.3 Синус, косинус, тангенс и котангенс числа1.2.4 Основные тригонометрические тождества

Найдите значение выражения дробь: числитель: 50 синус 19 градусов умножить на косинус 19 градусов, знаменатель: синус 38 градусов конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Распознать в знаменателе формулу двойного угла sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha и сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе.

Обозначим α=19°\alpha = 19° для удобства.

Представим исходное выражение через α\alpha: 50sin⁡αcos⁡αsin⁡38°=50sin⁡αcos⁡αsin⁡2α\frac{50\sin\alpha\cos\alpha}{\sin 38°} = \frac{50\sin\alpha\cos\alpha}{\sin 2\alpha}

Здесь мы заметили, что 38°=2⋅19°38° = 2 \cdot 19°, поэтому sin⁡38°=sin⁡2α\sin 38° = \sin 2\alpha.

Теперь применим формулу двойного угла для синуса: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.

Подставим эту формулу в знаменатель: 50sin⁡αcos⁡α2sin⁡αcos⁡α\frac{50\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}

В числителе и знаменателе стоит произведение sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha. Сокращаем его: 502=25\frac{50}{2} = 25

Замечание: выражение не зависит от конкретного значения угла α\alpha, поэтому результат верен для любого угла, при котором знаменатель не равен нулю.

Типичные ошибки

  • Забыли применить формулу двойного угла и попытались работать с углами напрямую
  • Неправильно написали формулу двойного угла (например, sin⁡2α=sin⁡2α+cos⁡2α\sin 2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha или другие неверные выражения)
  • Сократили только часть множителей в дроби, оставив один из них в знаменателе

Ещё задачи этой подтемы