ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых тригонометрических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых тригонометрических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла1.2.5 Формулы приведения

Найдите значение выражения  дробь: числитель: 12, знаменатель: синус в квадрате 37 градусов плюс синус в квадрате 127 градусов конец дроби .

В подтеме 32 задач
Разбор
Главная идея: Угол 127° нужно представить как 90° + 37°, чтобы синус преобразовался в косинус через формулу приведения, после чего знаменатель свернётся в основное тригонометрическое тождество, равное 1.

Рассмотрим знаменатель дроби и заметим особенность угла 127°.

Шаг 1: Переносим 127° в удобной вид

Запишем: 127°=90°+37°127° = 90° + 37°

Это позволит использовать формулу приведения.

Шаг 2: Применяем формулу приведения

Вспомним, что sin⁡(90°+α)=cos⁡(α)\sin(90° + \alpha) = \cos(\alpha)

Поэтому: sin⁡2(127°)=sin⁡2(90°+37°)=cos⁡2(37°)\sin^2(127°) = \sin^2(90° + 37°) = \cos^2(37°)

Шаг 3: Подставляем в знаменатель

sin⁡2(37°)+sin⁡2(127°)=sin⁡2(37°)+cos⁡2(37°)\sin^2(37°) + \sin^2(127°) = \sin^2(37°) + \cos^2(37°)

Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество

Фундаментальное свойство тригонометрии гласит:

sin⁡2(α)+cos⁡2(α)=1\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1

Следовательно: sin⁡2(37°)+cos⁡2(37°)=1\sin^2(37°) + \cos^2(37°) = 1

Шаг 5: Вычисляем дробь

12sin⁡2(37°)+sin⁡2(127°)=121=12\frac{12}{\sin^2(37°) + \sin^2(127°)} = \frac{12}{1} = 12

Ключевой момент: угол 127° был представлен как дополнение к 90°, что дало нам дополнительный угол (косинус вместо синуса), и это позволило свернуть знаменатель в единицу.

Типичные ошибки

  • Забыли применить формулу приведения и попытались вычислять численно через градусы
  • Ошибка в формуле приведения: неправильно определили, что sin⁡(90°+α)=cos⁡(α)\sin(90° + \alpha) = \cos(\alpha), а не −cos⁡(α)-\cos(\alpha) или sin⁡(α)\sin(\alpha)
  • Не заметили, что 127° = 90° + 37°, и пошли в вычисление, не видя связи с первым углом
Непонятно?

Похожие задачи