Задание 7 ЕГЭ: преобразования числовых рациональных выражений

О чём эта подтема

Задание 7 профильного ЕГЭ по математике проверяет умение точно и быстро работать с числами: обыкновенными и десятичными дробями, смешанными числами, действиями сложения, вычитания, умножения и деления. Здесь нет неизвестных — только конкретные числа, которые нужно правильно преобразовать по стандартным правилам арифметики.

Задача кажется простой, но именно в ней чаще всего теряют баллы из-за невнимательности: забытый минус, ошибка при переводе десятичной дроби в обыкновенную, неверное приведение к общему знаменателю. Основная цель тренировки — довести технику вычислений до автоматизма, чтобы не тратить время и не допускать арифметических промахов.

В отличие от заданий с преобразованием алгебраических выражений (со степенями, корнями, переменными), здесь работа идёт только с конкретными числовыми значениями. Это значит, что весь ответ можно и нужно проверить прямым пересчётом.

Что нужно знать

Для уверенного решения этой подтемы достаточно свободно владеть следующими темами.

1. Перевод смешанного числа в неправильную дробь. Если дано число вида $a\frac{b}{c}$, то $$a\frac{b}{c} = \frac{a\cdot c + b}{c}.$$ Например, $2\frac{3}{8} = \frac{2\cdot 8+3}{8} = \frac{19}{8}$.

2. Перевод десятичной дроби в обыкновенную. Количество цифр после запятой определяет знаменатель — степень десяти: $$25{,}6 = \frac{256}{10} = \frac{128}{5}, \qquad 1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.$$ После перевода дробь обязательно нужно сократить.

3. Действия с обыкновенными дробями.

• Сложение и вычитание — только после приведения к общему знаменателю: $$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{d} = \frac{a\cdot d \pm b\cdot c}{c\cdot d}.$$ Лучше искать наименьший общий знаменатель (НОК), а не просто перемножать знаменатели — так числа остаются меньше, и ошибиться сложнее.
• Умножение дробей: $$\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d} = \frac{a\cdot b}{c\cdot d}.$$
• Деление дробей — умножение на перевёрнутую вторую дробь: $$\frac{a}{c} : \frac{b}{d} = \frac{a}{c}\cdot\frac{d}{b}.$$

4. Сокращение дробей до умножения, а не после. Если видно, что числитель одной дроби и знаменатель другой имеют общий множитель, выгоднее сократить их сразу, а не перемножать большие числа и потом искать НОД у громоздкого результата.

5. Порядок действий. Стандартный порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), затем сложение и вычитание. Нарушение порядка — частая причина неверного ответа.

6. Работа со знаками. При вычитании отрицательного числа знак меняется на противоположный: $a - (-b) = a+b$. При умножении/делении чисел с разными знаками результат отрицательный, с одинаковыми — положительный.

Этого набора правил достаточно: никаких степеней, корней или логарифмов в данной подтеме не требуется — только чистая арифметика дробей.

Как решать: метод и алгоритм

Чтобы не запутаться в вычислениях, полезно придерживаться фиксированного порядка действий.

Шаг 1. Определить структуру выражения. Выделите скобки, посмотрите, какие операции стоят между блоками — сложение, вычитание, умножение или деление. Наметьте план: что считать сначала.

Шаг 2. Привести все числа к единому виду. Если в выражении смешаны десятичные и обыкновенные дроби, переведите все числа в обыкновенные дроби (или все — в десятичные, если так удобнее считать). Смешанные числа переведите в неправильные дроби.

Шаг 3. Выполнить действия внутри скобок. Сложите или вычтите дроби, предварительно приведя их к общему знаменателю. Проверьте, сократилась ли получившаяся дробь.

Шаг 4. Выполнить оставшиеся действия — умножение или деление. При умножении дробей старайтесь сократить числитель одной дроби со знаменателем другой до того, как перемножите числа — так вычисления будут проще.

Шаг 5. Привести результат к простейшему виду. Если в ответе получилась дробь, сократите её. Если по условию ответ должен быть целым числом или десятичной дробью — преобразуйте результат в нужный формат.

Шаг 6. Проверить результат. Лучший способ проверки — прикидка порядка величины: оцените, каким примерно должен быть ответ, округлив числа до целых. Если точный ответ сильно отличается от прикидки — где-то ошибка.

Следуя этому алгоритму, можно решить практически любой пример на числовые рациональные выражения без калькулятора и без лишних ошибок.

Разбор примера

Пример 1. Найдите значение выражения $$\left(\frac{3}{4} + 2\frac{3}{8}\right)\cdot 25{,}6.$$

Шаг 1. Переведём смешанное число в неправильную дробь: $$2\frac{3}{8} = \frac{2\cdot 8+3}{8} = \frac{19}{8}.$$

Шаг 2. Приведём $\frac{3}{4}$ к знаменателю 8: $$\frac{3}{4} = \frac{6}{8}.$$

Шаг 3. Сложим дроби в скобках: $$\frac{6}{8} + \frac{19}{8} = \frac{25}{8}.$$

Шаг 4. Переведём десятичную дробь в обыкновенную: $$25{,}6 = \frac{256}{10} = \frac{128}{5}.$$

Шаг 5. Перемножим полученные дроби, предварительно сократив: $$\frac{25}{8}\cdot\frac{128}{5} = \frac{25\cdot 128}{8\cdot 5}.$$ Сократим 25 и 5: $25:5=5$. Сократим 128 и 8: $128:8=16$. Получаем: $$5\cdot 16 = 80.$$

Ответ: $80$.

Проверка прикидкой: $\frac{3}{4}+2\frac{3}{8}\approx 0{,}75+2{,}375 = 3{,}125$, а $3{,}125\cdot 25{,}6 \approx 80$ — совпадает.

Пример 2. Найдите значение выражения $$\left(2\frac{4}{7} - 1{,}2\right)\cdot 5\frac{5}{6}.$$

Шаг 1. Переведём все числа в обыкновенные дроби. $$2\frac{4}{7} = \frac{2\cdot 7+4}{7} = \frac{18}{7}, \qquad 1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}, \qquad 5\frac{5}{6} = \frac{5\cdot 6+5}{6} = \frac{35}{6}.$$

Шаг 2. Вычислим разность в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. НОК чисел 7 и 5 равен 35: $$\frac{18}{7} = \frac{90}{35}, \qquad \frac{6}{5} = \frac{42}{35}.$$ $$\frac{90}{35} - \frac{42}{35} = \frac{48}{35}.$$

Шаг 3. Умножим результат на $\frac{35}{6}$, сокращая до умножения: $$\frac{48}{35}\cdot\frac{35}{6} = \frac{48\cdot 35}{35\cdot 6}.$$ Число 35 сокращается в числителе и знаменателе: $$\frac{48}{6} = 8.$$

Ответ: $8$.

Проверка прикидкой: $2\frac{4}{7}\approx 2{,}57$, $2{,}57-1{,}2=1{,}37$, а $1{,}37\cdot 5{,}83\approx 8$ — совпадает с точным ответом.

Оба примера показывают ключевую идею: сначала унифицировать все числа (перевести в обыкновенные дроби), затем действовать строго по порядку действий, а сокращать — как можно раньше, до финального умножения.

Типичные ошибки

Ошибка в переводе десятичной дроби. Часто путают количество нулей в знаменателе: $1{,}2$ — это $\frac{12}{10}$, а не $\frac{12}{100}$. Считайте цифры после запятой внимательно.

Неверный перевод смешанного числа. Иногда вместо $\frac{a\cdot c+b}{c}$ по ошибке пишут $\frac{a+b}{c}$, забывая умножить целую часть на знаменатель.

Ошибка при приведении к общему знаменателю. Забывают домножить числитель на тот же множитель, что и знаменатель, из-за чего дробь искажается.

Потеря знака минус. При вычитании дроби, стоящей после скобки с минусом, забывают распространить знак на весь числитель второй дроби.

Сокращение после, а не до умножения. Умножают большие числа, а потом с трудом ищут общий делитель у громоздкого результата — это увеличивает риск арифметической ошибки. Правильнее сокращать дроби заранее.

Нарушение порядка действий. Выполняют умножение раньше действия в скобках или складывают до умножения — это меняет весь результат.

Ошибки при переводе результата в требуемый формат. Если в условии просят округлить ответ или дать его в виде десятичной дроби, а не обыкновенной, забывают это сделать в самом конце.

Механические арифметические описки. Даже зная метод, легко ошибиться в простом умножении или сложении, особенно при устном счёте без проверки.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как приступать к вычислениям, прочитайте выражение целиком и мысленно наметьте план: что будет считаться первым, вторым, третьим действием. Это экономит время и снижает риск нарушить порядок операций.

Переводите десятичные дроби в обыкновенные сразу, если в выражении встречаются оба вида дробей — так легче работать с общим знаменателем и не путать форматы чисел.

Всегда ищите возможность сократить дробь до того, как выполнили умножение или деление: меньшие числа считать быстрее и надёжнее.

После получения ответа сделайте быструю прикидку — округлите числа до целых или простых дробей и оцените, совпадает ли порядок величины с полученным точным ответом. Это хороший способ поймать грубую ошибку буквально за несколько секунд.

Если ответ получается не целым числом, а условие задачи предполагает «красивый» результат (что часто бывает в задании 7), перепроверьте вычисления — вероятно, где-то допущена ошибка в дроби или знаке.

Пишите промежуточные шаги на черновике аккуратно и не сокращайте вычисления «в уме» там, где легко ошибиться — время, потраченное на аккуратную запись, окупается отсутствием обидных потерь баллов.