Задача 77392. Преобразования числовых рациональных выражений

Дано выражение: $$\frac{1,23 \times 45,7}{12,3 \times 0,457}$$

Шаг 1. Заметим закономерность в числах: в знаменателе стоят 12,3 и 0,457, которые связаны с числителем.

Шаг 2. Переведём десятичные дроби в целые числа, умножив числитель и знаменатель на 10 000: $$\frac{1,23 \times 45,7}{12,3 \times 0,457} = \frac{123 \times 4570}{123000 \times 457}$$

Проверим: $1,23 \times 10000 = 12300 = 123 \times 100$; $45,7 \times 10000 = 457000 = 457 \times 1000$; $12,3 \times 10000 = 123000 = 123 \times 1000$; $0,457 \times 10000 = 4570 = 457 \times 10$.

Шаг 3. Перепишем более наглядно: $$\frac{123 \times 457 \times 10}{123 \times 457 \times 100} = \frac{10}{100}$$

Нет! Пересчитаем: $\frac{123 \times 4570}{123 \times 1000 \times 457} = \frac{123 \times 457 \times 10}{123 \times 457 \times 1000}$.

Шаг 4. Сократим общие множители 123 и 457: $$\frac{123 \times 457 \times 10}{123 \times 457 \times 1000} = \frac{10}{100}$$

Ошибка выше. Правильно: $\frac{123 \times 457 \times 10}{123 \times 1000 \times 457} = \frac{10}{1000} \times \frac{123 \times 457}{123 \times 457}$...

Вернёмся к сборнику: умножим на 10 000 напрямую: $$\frac{1,23 \times 45,7}{12,3 \times 0,457} = \frac{123 \times 457 \times 10}{123 \times 457} = 10$$

Это происходит потому, что $1,23 \times 10000 = 12300$, $45,7 \times 10000 = 457000$; $12,3 \times 10000 = 123000$, $0,457 \times 10000 = 4570$. После сокращения получаем 10.