ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых логарифмических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения 7 умножить на 5 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _54 .

В подтеме 34 задач
Разбор
Главная идея: Используется фундаментальное тождество alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b: основание степени и основание логарифма совпадают, поэтому логарифм в показателе просто выделяет аргумент логарифма.

Необходимо вычислить 7⋅5log⁡547 \cdot 5^{\log_5 4}.

Воспользуемся ключевым свойством логарифма: если показатель степени содержит логарифм с тем же основанием, что и основание степени, то они «взаимно сокращаются».

Формально это выглядит так: alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b для положительных a≠1a \neq 1 и положительного bb.

Применим это свойство к нашему выражению. У нас есть степень с основанием 5 и показателем log⁡54\log_5 4. По свойству выше: 5log⁡54=45^{\log_5 4} = 4

Почему это работает? Логарифм log⁡54\log_5 4 — это число, в которое нужно возвести 5, чтобы получить 4. То есть 5log⁡54≡45^{\log_5 4} \equiv 4 по определению логарифма.

Теперь подставим результат в исходное выражение: 7⋅5log⁡54=7⋅4=287 \cdot 5^{\log_5 4} = 7 \cdot 4 = 28

Ответ: 28

Типичные ошибки

  • Попытка раскрыть логарифм через его определение без применения свойства — приводит к ненужным вычислениям
  • Забывают, что свойство работает только если основание степени равно основанию логарифма
  • Ошибка при применении свойства логарифма произведения вместо свойства alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b
Непонятно?

Похожие задачи