Задача 676850. Преобразования числовых логарифмических выражений

Преобразуем первую часть выражения, приведя логарифмы к одному основанию.

Шаг 1. Применим формулу перехода к другому основанию.

$$\frac{\log_5 63}{\log_5 3} = \log_3 63$$

Это следует из формулы: $\frac{\log_a b}{\log_a c} = \log_c b$. Когда логарифмы с одинаковым основанием находятся в таком отношении, они дают логарифм с новым основанием.

Шаг 2. Перепишем всё выражение с одним основанием 3.

$$\log_3 63 - \log_3 (7\sqrt{3})$$

Шаг 3. Применим свойство логарифма разности: разность логарифмов равна логарифму отношения.

$$\log_3 \frac{63}{7\sqrt{3}}$$

Шаг 4. Упростим дробь под логарифмом.

$$\frac{63}{7\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}}$$

Потому что $63 : 7 = 9$.

Шаг 5. Разделим логарифм дроби: $\log_3 \frac{9}{\sqrt{3}} = \log_3 9 - \log_3 \sqrt{3}$.

Шаг 6. Вычислим каждый логарифм.

$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$ (так как $3^2 = 9$).

$\log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{1/2} = \frac{1}{2}$ (так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$).

Шаг 7. Найдём разность.

$$2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$$