ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых логарифмических выражений

Задача 77418. Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.3.2 Логарифм произведения, частного, степени1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Вычислите значение выражения: левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 3 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка .

В подтеме 34 задач
Разбор
Главная идея: Произведение логарифмов с переставленными основаниями и аргументами равно единице благодаря формуле перехода, что сводит показатель степени к 1.

Обозначим исходное выражение как (3log⁡23)log⁡32(3^{\log_2 3})^{\log_3 2}.

Шаг 1: Переписываем во внутренней степени.

Используем свойство степеней: (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}. Получаем: 3log⁡23⋅log⁡323^{\log_2 3 \cdot \log_3 2}

Шаг 2: Преобразуем произведение логарифмов.

Заметим, что произведение логарифмов с переставленными основаниями и аргументами связано простым соотношением. Используем формулу перехода: log⁡23=1log⁡32\log_2 3 = \frac{1}{\log_3 2}

Поэтому: log⁡23⋅log⁡32=1log⁡32⋅log⁡32=1\log_2 3 \cdot \log_3 2 = \frac{1}{\log_3 2} \cdot \log_3 2 = 1

Шаг 3: Вычисляем результат.

Подставляем найденное произведение: 3log⁡23⋅log⁡32=31=33^{\log_2 3 \cdot \log_3 2} = 3^1 = 3

Типичные ошибки

  • Забыть переписать (am)n(a^m)^n как amna^{mn} и попытаться работать с внешней степенью отдельно
  • Неправильно применить формулу перехода: log⁡ab≠log⁡ba\log_a b \neq \log_b a, а именно log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a}
  • Вычислить произведение логарифмов как произведение десятичных чисел вместо использования их взаимной связи

Ещё задачи этой подтемы