ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых логарифмических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.3.2 Логарифм произведения, частного, степени1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения 5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 25 правая круглая скобка 49 правая круглая скобка .

В подтеме 34 задач
Разбор
Главная идея: Преобразуйте логарифм степени в произведение, затем используйте свойство степеней для замены основания, чтобы применить основное логарифмическое тождество.

Нужно найти 5log⁡25495^{\log_{25} 49}.

Шаг 1. Заметим, что 49=7249 = 7^2. Тогда: log⁡2549=log⁡2572=2log⁡257\log_{25} 49 = \log_{25} 7^2 = 2\log_{25} 7

Это следует из свойства логарифма: логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания.

Шаг 2. Подставим это в исходное выражение: 5log⁡2549=52log⁡2575^{\log_{25} 49} = 5^{2\log_{25} 7}

Шаг 3. Преобразуем основание степени. Заметим, что 52=255^2 = 25, поэтому: 52log⁡257=(52)log⁡257=25log⁡2575^{2\log_{25} 7} = (5^2)^{\log_{25} 7} = 25^{\log_{25} 7}

Это верно по свойству степеней: (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}.

Шаг 4. Применим основное логарифмическое тождество: alog⁡ax=xa^{\log_a x} = x (при a>0,a≠1,x>0a > 0, a \neq 1, x > 0).

В нашем случае a=25a = 25, а x=7x = 7: 25log⁡257=725^{\log_{25} 7} = 7

Ответ: 7

Типичные ошибки

  • Забыли вынести показатель степени из логарифма: log⁡2549=log⁡2572\log_{25} 49 = \log_{25} 7^2 должно дать 2log⁡2572\log_{25} 7, а не остаться как есть
  • Неправильно связали 55 и 2525: нужно заметить, что 52=255^2 = 25, чтобы привести основание степени к основанию логарифма
  • Применили тождество alog⁡ax=xa^{\log_a x} = x с неправильными основаниями — основание степени и основание логарифма должны совпадать
Непонятно?

Похожие задачи