Задача 26855. Преобразования числовых логарифмических выражений

Разложим 12 на произведение: $12 = 2 \cdot 6$.

Первая скобка: $$1 - \log_2 12 = 1 - \log_2(2 \cdot 6) = 1 - (\log_2 2 + \log_2 6) = 1 - 1 - \log_2 6 = -\log_2 6$$

Здесь использовали свойство логарифма произведения: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, а также то, что $\log_2 2 = 1$.

Вторая скобка: $$1 - \log_6 12 = 1 - \log_6(2 \cdot 6) = 1 - (\log_6 2 + \log_6 6) = 1 - \log_6 2 - 1 = -\log_6 2$$

Аналогично применили свойство логарифма произведения и то, что $\log_6 6 = 1$.

Произведение скобок: $$(1 - \log_2 12)(1 - \log_6 12) = (-\log_2 6) \cdot (-\log_6 2) = \log_2 6 \cdot \log_6 2$$

Применим формулу перехода: Используем свойство: $\log_a b \cdot \log_b a = 1$. Это следует из того, что $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

Поэтому: $$\log_2 6 \cdot \log_6 2 = 1$$