ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых логарифмических выражений

Задача 26853. Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения \log _59 умножить на \log _325.

В подтеме 34 задач
Разбор
Главная идея: Разложить аргументы логарифмов на степени простых чисел, затем использовать свойство, что логарифмы с перестановленными основанием и аргументом дают взаимно обратные значения.

Разберёмся пошагово.

Шаг 1. Преобразуем логарифмы в основания, удобные для работы.

log⁡59=log⁡532=2log⁡53\log_5 9 = \log_5 3^2 = 2\log_5 3 — по свойству логарифма степени.

log⁡325=log⁡352=2log⁡35\log_3 25 = \log_3 5^2 = 2\log_3 5 — аналогично.

Шаг 2. Подставляем в исходное выражение: log⁡59⋅log⁡325=2log⁡53⋅2log⁡35=4log⁡53⋅log⁡35\log_5 9 \cdot \log_3 25 = 2\log_5 3 \cdot 2\log_3 5 = 4\log_5 3 \cdot \log_3 5

Шаг 3. Применяем формулу перехода к новому основанию. Заметим, что: log⁡35=1log⁡53\log_3 5 = \frac{1}{\log_5 3}

Это следует из того, что log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b \cdot \log_b a = 1 (логарифмы взаимно обратных оснований и аргументов).

Шаг 4. Подставляем: 4log⁡53⋅log⁡35=4log⁡53⋅1log⁡53=4⋅1=44\log_5 3 \cdot \log_3 5 = 4\log_5 3 \cdot \frac{1}{\log_5 3} = 4 \cdot 1 = 4

Логарифм сокращается, остаётся множитель 4.

Типичные ошибки

  • Забыть применить свойство логарифма степени: log⁡abn=nlog⁡ab\log_a b^n = n\log_a b
  • Неправильно применить формулу обратного логарифма: log⁡35≠log⁡53\log_3 5 \neq \log_5 3, а log⁡35=1log⁡53\log_3 5 = \frac{1}{\log_5 3}
  • Потеряться в коэффициентах и неправильно умножить 2⋅22 \cdot 2 перед логарифмами

Ещё задачи этой подтемы