ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых логарифмических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.3.1 Логарифм числа1.3.2 Логарифм произведения, частного, степени

Найдите значение выражения логарифм по основанию 5 7 умножить на логарифм по основанию 7 25.

В подтеме 34 задач
Разбор
Главная идея: При произведении логарифмов с разными основаниями используй формулу замены основания, чтобы привести их к одному основанию и сократить одинаковые логарифмы.

Обозначим первый множитель как log⁡57\log_5 7 и второй как log⁡725\log_7 25.

Здесь работает формула замены основания логарифма: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Преобразуем второй логарифм, используя эту формулу: log⁡725=log⁡525log⁡57\log_7 25 = \frac{\log_5 25}{\log_5 7}

Теперь подставим в исходное произведение: log⁡57⋅log⁡725=log⁡57⋅log⁡525log⁡57\log_5 7 \cdot \log_7 25 = \log_5 7 \cdot \frac{\log_5 25}{\log_5 7}

Дроби с log⁡57\log_5 7 в числителе и знаменателе сокращаются: =log⁡525= \log_5 25

Оставляет только логарифм по одному основанию. Найдём его значение, вспомнив, что 25=5225 = 5^2: log⁡525=log⁡552=2\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2

По свойству [логарифм степени: log⁡aan=n\log_a a^n = n] получаем ответ 2.

Типичные ошибки

  • Забыли, что формула замены основания содержит дробь log⁡cblog⁡ca\frac{\log_c b}{\log_c a}, а не произведение — это приводит к ошибкам в упрощении.
  • Не заметили, что 25=5225 = 5^2, и попытались искать log⁡525\log_5 25 путём подбора вместо использования свойства логарифма степени.
  • Перепутали основания при применении формулы замены и получили выражение вида log⁡57⋅log⁡57\log_5 7 \cdot \log_5 7, которое неправильно.
Непонятно?

Похожие задачи