Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых логарифмических выражений

Числитель. Воспользуемся свойством логарифма разности: $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$.

$$\log_2 12,8 - \log_2 0,8 = \log_2 \frac{12,8}{0,8}$$

Вычислим дробь: $\frac{12,8}{0,8} = \frac{128}{8} = 16$

Получаем: $\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$ (так как $2^4 = 16$).

Знаменатель. Работаем с выражением $5^{\log_{25} 16}$.

Преобразуем основание: $25 = 5^2$, поэтому $\log_{25} 16 = \log_{5^2} 16$.

По формуле смены основания: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, получаем: $$\log_{25} 16 = \log_{5^2} 16 = \frac{1}{2} \log_5 16$$

Тогда: $$5^{\log_{25} 16} = 5^{\frac{1}{2} \log_5 16}$$

По свойству степени: $a^{k \log_a x} = x^k$, имеем: $$5^{\frac{1}{2} \log_5 16} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$$

Итоговое вычисление: $$\frac{4}{4} = 1$$