ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых логарифмических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.3.2 Логарифм произведения, частного, степени1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения дробь: числитель: \log _6 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: \log _613 конец дроби .

В подтеме 34 задач
Разбор
Главная идея: Использовать свойство логарифма степени для преобразования 13\sqrt{13} в 131/213^{1/2}, в результате чего множитель 12\frac{1}{2} выносится из логарифма и легко сокращается с логарифмом в знаменателе.

Нужно найти значение дроби log⁡613log⁡613\frac{\log_6 \sqrt{13}}{\log_6 13}.

Шаг 1. Преобразуем корень в степень. Вспомним, что корень из числа — это степень 1/2: 13=131/2\sqrt{13} = 13^{1/2}.

Шаг 2. Применяем свойство логарифма степени: [логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания]. То есть log⁡abn=nlog⁡ab\log_a b^n = n \log_a b.

Получается: log⁡613=log⁡6131/2=12log⁡613\log_6 \sqrt{13} = \log_6 13^{1/2} = \frac{1}{2} \log_6 13.

Шаг 3. Подставляем это выражение в исходную дробь: log⁡613log⁡613=12log⁡613log⁡613\frac{\log_6 \sqrt{13}}{\log_6 13} = \frac{\frac{1}{2} \log_6 13}{\log_6 13}

Шаг 4. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число log⁡613\log_6 13. Сокращаем его: 12log⁡613log⁡613=12=0,5\frac{\frac{1}{2} \log_6 13}{\log_6 13} = \frac{1}{2} = 0,5

Типичные ошибки

  • Забыть перевести корень в степень 131/213^{1/2} и пытаться упростить логарифм корня без этого преобразования
  • Неправильно применить свойство логарифма степени, например написать log⁡6131/2=12+log⁡613\log_6 13^{1/2} = \frac{1}{2} + \log_6 13 вместо произведения
  • Сделать ошибку при сокращении дроби и не заметить, что одинаковые логарифмы в числителе и знаменателе полностью сокращаются
Непонятно?

Похожие задачи