Задача 26859. Преобразования числовых логарифмических выражений

Разберём выражение по частям.

Шаг 1. Преобразуем первую дробь.

Для дроби $\frac{\log_3 5}{\log_3 7}$ применим формулу перехода к другому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, откуда $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$.

Получается: $\frac{\log_3 5}{\log_3 7} = \log_7 5$

Шаг 2. Упростим вторую часть.

$\log_7 0{,}2 = \log_7 \frac{1}{5}$

По свойству логарифма: $\log_a \frac{1}{b} = -\log_a b$, поэтому: $\log_7 \frac{1}{5} = -\log_7 5$

Шаг 3. Найдём сумму.

$\log_7 5 + (-\log_7 5) = \log_7 5 - \log_7 5 = 0$

Альтернативный способ на шаге 3: можно применить свойство $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$:

$\log_7 5 + \log_7 0{,}2 = \log_7(5 \cdot 0{,}2) = \log_7 1 = 0$