ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых логарифмических выражений

Задача 26883. Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения 8 в степени левая круглая скобка 2\log правая круглая скобка _83.

В подтеме 34 задач
Разбор
Главная идея: Используется основное логарифмическое тождество: alog⁡ax=xa^{\log_a x} = x, где aa — основание, совпадающее в степени и логарифме.

Нужно найти значение выражения 82log⁡838^{2\log_8 3}.

Перепишем показатель степени, используя свойство логарифма: 2log⁡83=log⁡832=log⁡892\log_8 3 = \log_8 3^2 = \log_8 9. Это работает потому, что коэффициент перед логарифмом — это то же самое, что возведение аргумента в соответствующую степень.

Теперь имеем: 8log⁡898^{\log_8 9}.

Применим основное логарифмическое тождество: если база степени и база логарифма совпадают, то alog⁡ax=xa^{\log_a x} = x. В нашем случае база — это 8, аргумент логарифма — это 9.

Поэтому: 8log⁡89=98^{\log_8 9} = 9.

Типичные ошибки

  • Забывают привести коэффициент перед логарифмом в показатель степени аргумента: 2log⁡832\log_8 3 нужно записать как log⁡89\log_8 9, а не оставлять в виде суммы
  • Путают направление применения тождества: пишут 8log⁡89=log⁡8898^{\log_8 9} = \log_8 8^9 вместо прямого применения
  • Пытаются сначала вычислить log⁡83\log_8 3 численно, что затрудняет решение, хотя в этой задаче вычислять его не нужно

Ещё задачи этой подтемы