Задача 26893. Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения $\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 13 конец дроби корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$

В подтеме 34 задач

Разбор

Главная идея: Используйте свойства логарифма: замените дробное основание на степень, а корень на дробный показатель, чтобы свести выражение к

\log_a a

Нужно найти логарифм $\sqrt{13}$ по основанию $\frac{1}{13}$ .

Шаг 1: Преобразуем основание логарифма.

Основание $\frac{1}{13} = 13^{-1}$ . Используем свойство [логарифм степени основания]: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ .

Получаем: $\log_{13^{-1}} \sqrt{13} = \frac{1}{-1} \log_{13} \sqrt{13} = -\log_{13} \sqrt{13}$

Шаг 2: Преобразуем аргумент логарифма.

$\sqrt{13} = 13^{1/2}$ . Применяем свойство [логарифм степени]: $\log_a b^p = p \log_a b$ .

Тогда: $\log_{13} 13^{1/2} = \frac{1}{2} \log_{13} 13$

Шаг 3: Вычисляем логарифм.

По определению $\log_{13} 13 = 1$ (логарифм числа по самому себе равен 1).

Шаг 4: Находим итоговое значение.

$-\log_{13} \sqrt{13} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0,5$

Забыли учесть минус при переходе от основания $\frac{1}{13} = 13^{-1}$ : коэффициент при $\log_{13}$ должен быть отрицательным.
Не преобразовали $\sqrt{13}$ в степень $13^{1/2}$ : это ключ к упрощению логарифма.
Ошибка в вычислении: при произведении $(-1) \cdot \frac{1}{2}$ получится $-0,5$ , а не $0,5$ .

Ещё задачи этой подтемы