ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых логарифмических выражений

Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 13 конец дроби корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .

В подтеме 34 задач
Разбор
Главная идея: Используйте свойства логарифма: замените дробное основание на степень, а корень на дробный показатель, чтобы свести выражение к log⁡aa\log_a a.

Нужно найти логарифм 13\sqrt{13} по основанию 113\frac{1}{13}.

Шаг 1: Преобразуем основание логарифма.

Основание 113=13−1\frac{1}{13} = 13^{-1}. Используем свойство [логарифм степени основания]: log⁡akb=1klog⁡ab\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b.

Получаем: log⁡13−113=1−1log⁡1313=−log⁡1313\log_{13^{-1}} \sqrt{13} = \frac{1}{-1} \log_{13} \sqrt{13} = -\log_{13} \sqrt{13}

Шаг 2: Преобразуем аргумент логарифма.

13=131/2\sqrt{13} = 13^{1/2}. Применяем свойство [логарифм степени]: log⁡abp=plog⁡ab\log_a b^p = p \log_a b.

Тогда: log⁡13131/2=12log⁡1313\log_{13} 13^{1/2} = \frac{1}{2} \log_{13} 13

Шаг 3: Вычисляем логарифм.

По определению log⁡1313=1\log_{13} 13 = 1 (логарифм числа по самому себе равен 1).

Шаг 4: Находим итоговое значение.

−log⁡1313=−12⋅1=−0,5-\log_{13} \sqrt{13} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0,5

Типичные ошибки

  • Забыли учесть минус при переходе от основания 113=13−1\frac{1}{13} = 13^{-1}: коэффициент при log⁡13\log_{13} должен быть отрицательным.
  • Не преобразовали 13\sqrt{13} в степень 131/213^{1/2}: это ключ к упрощению логарифма.
  • Ошибка в вычислении: при произведении (−1)⋅12(-1) \cdot \frac{1}{2} получится −0,5-0,5, а не 0,50,5.
Непонятно?

Похожие задачи