Задача 26885. Преобразования числовых логарифмических выражений

Нужно найти $64^{\log_8 \sqrt{3}}$.

Шаг 1. Приведём основание степени к одному основанию с логарифмом.

Заметим, что $64 = 8^2$. Подставим: $$64^{\log_8 \sqrt{3}} = (8^2)^{\log_8 \sqrt{3}}$$

Шаг 2. Применим свойство степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. $$= 8^{2 \cdot \log_8 \sqrt{3}} = 8^{\log_8 (\sqrt{3})^2}$$

Мы вынесли коэффициент 2 в показатель логарифма: $2 \log_8 \sqrt{3} = \log_8 (\sqrt{3})^2$.

Шаг 3. Упростим $(\sqrt{3})^2 = 3$. $$= 8^{\log_8 3}$$

Шаг 4. Применим основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a x} = x$ (при $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$). $$8^{\log_8 3} = 3$$

По определению логарифма: если $\log_8 3 = b$, то $8^b = 3$. Подставляя это значение показателя обратно, получаем 3.