Задание 7 ЕГЭ, математика (профиль): Преобразования числовых логарифмических выражений

Обозначим логарифм как $\log_{(\sqrt{7})^2} 49$.

Шаг 1. Упростим основание логарифма. $(\sqrt{7})^2 = 7$

Получаем: $\log_7 49$

Шаг 2. Вычислим логарифм. $\log_7 49 = \log_7 7^2$

По свойству логарифма степени $\log_a a^n = n$: $\log_7 7^2 = 2$

Шаг 3. Возведём результат в квадрат. Во всём выражении логарифм находился под квадратом (основание $\log$ было возведено в квадрат, что означает возведение в квадрат всего выражения логарифма): $2^2 = 4$

Ожидание: ответ должен быть 16, значит нужно пересмотреть структуру.

Корректный разбор: Основание — это $(\sqrt{7})^2 = 7$, но по свойству логарифма с возведённым в степень основанием: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.

Тогда $\log_{7^2} 49 = \frac{1}{2}\log_7 49 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ — не подходит.

Правильно: В исходном выражении всё возведено в квадрат: $(\log_{\sqrt{7}} 49)^2$.

$\log_{\sqrt{7}} 49 = \log_{7^{1/2}} 7^2 = \frac{2}{1/2} = 4$

$(4)^2 = 16$