ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых логарифмических выражений

Задача 26852. Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения дробь: числитель: \log _713, знаменатель: \log _4913 конец дроби .

В подтеме 34 задач
Разбор
Главная идея: Использование формулы перехода к новому основанию логарифма преобразует знаменатель в дробь с тем же логарифмом в числителе, что позволяет их сократить.

Нужно найти значение дроби с логарифмами в числителе и знаменателе.

Шаг 1. Преобразуем знаменатель, используя формулу [логарифм с изменением основания]: log⁡4913=log⁡713log⁡749\log_{49} 13 = \frac{\log_7 13}{\log_7 49}

Эта формула работает, потому что для любых положительных aa, bb, cc (где a≠1a \neq 1, c≠1c \neq 1) верно: log⁡cb=log⁡ablog⁡ac\log_c b = \frac{\log_a b}{\log_a c}.

Шаг 2. Найдём log⁡749\log_7 49. Так как 49=7249 = 7^2, то: log⁡749=log⁡772=2\log_7 49 = \log_7 7^2 = 2

Шаг 3. Подставим полученное значение в знаменатель: log⁡4913=log⁡7132\log_{49} 13 = \frac{\log_7 13}{2}

Шаг 4. Теперь исходное выражение принимает вид: log⁡713log⁡4913=log⁡713log⁡7132\frac{\log_7 13}{\log_{49} 13} = \frac{\log_7 13}{\frac{\log_7 13}{2}}

Шаг 5. При делении на дробь умножаем на обратную: log⁡713log⁡7132=log⁡713⋅2log⁡713=2\frac{\log_7 13}{\frac{\log_7 13}{2}} = \log_7 13 \cdot \frac{2}{\log_7 13} = 2

Логарифмы сокращаются, остаётся 2.

Типичные ошибки

  • Забыли, что 49=7249 = 7^2, поэтому log⁡749=2\log_7 49 = 2, а не 1
  • Ошибка при делении на дробь — забыли перевернуть дробь в знаменателе
  • Неправильное применение формулы перехода: перепутали числитель и знаменатель в новом основании

Ещё задачи этой подтемы