ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 7Преобразования числовых логарифмических выражений

Задача 26849. Преобразования числовых логарифмических выражений

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 71.3.2 Логарифм произведения, частного, степени1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите значение выражения \log _50,2 плюс \log _0,54.

В подтеме 34 задач
Разбор
Главная идея: Свести основания и аргументы логарифмов к степеням одинаковых чисел (5 и 2), затем применить свойства логарифма степени и основного логарифмического тождества.

Шаг 1. Преобразуем основание и аргумент логарифмов.

Заметим, что 0,2=15=5−10,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} и 0,5=2−10,5 = 2^{-1}.

Шаг 2. Перепишем первый логарифм, используя свойство log⁡abn=nlog⁡ab\log_a b^n = n \log_a b: log⁡50,2=log⁡55−1=−1⋅log⁡55=−1⋅1=−1\log_5 0,2 = \log_5 5^{-1} = -1 \cdot \log_5 5 = -1 \cdot 1 = -1

Это потому, что логарифм степени равен показателю, умноженному на логарифм основания, а log⁡55=1\log_5 5 = 1 (логарифм основания по самому себе всегда равен 1).

Шаг 3. Перепишем второй логарифм. Здесь основание 0,5=2−10,5 = 2^{-1} и аргумент 4=224 = 2^2: log⁡0,54=log⁡2−122\log_{0,5} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2

Применим свойство замены основания: log⁡ambn=nmlog⁡ab\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b: log⁡2−122=2−1log⁡22=−2⋅1=−2\log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} \log_2 2 = -2 \cdot 1 = -2

Шаг 4. Сложим полученные значения: log⁡50,2+log⁡0,54=−1+(−2)=−3\log_5 0,2 + \log_{0,5} 4 = -1 + (-2) = -3

Типичные ошибки

  • Забыть преобразовать 0,2 в 5⁻¹ или 0,5 в 2⁻¹ и попытаться считать напрямую
  • Ошибиться в применении свойства log⁡ambn\log_{a^m} b^n — забыть про отрицательный показатель в основании
  • Неправильно сложить отрицательные числа: получить −1 вместо −3 из-за ошибки в знаках

Ещё задачи этой подтемы