Задачи на движение по прямой в задании 10 ЕГЭ: разбор и алгоритм

О чём эта подтема

Задачи на движение по прямой — один из самых предсказуемых типов текстовых задач в профильном ЕГЭ. Здесь речь идёт о ситуациях, когда объекты (автомобили, пешеходы, поезда, катера без течения) движутся по прямому маршруту из пункта A в пункт B, причём хотя бы один из них меняет скорость на определённом участке пути. Ключевая особенность подтемы — путь чаще всего делится на равные или заданные доли (половина пути, треть пути, определённый отрезок в км), а условие связывает участников через равенство времени движения или через общее пройденное расстояние.

В отличие от задач на движение по воде, здесь нет течения, а значит меньше переменных и уравнение обычно получается компактным — линейным или квадратным относительно скорости. Именно это делает такие задачи одним из самых «доходных» пунктов в задании 10: при чётком алгоритме время решения — 3–5 минут, а ошибка возникает почти всегда не из-за сложной математики, а из-за неверной записи условия.

Главная идея, которую нужно понять и закрепить: расстояние, скорость и время связаны формулой $s = v \cdot t$, и вся задача — это перевод словесного описания движения в систему уравнений с использованием этой формулы для каждого участка пути.

Что нужно знать

Для решения задач на движение по прямой достаточно небольшого набора фактов, но применять их нужно предельно аккуратно.

1. Основное соотношение движения. $$s = v \cdot t, \qquad t = \frac{s}{v}, \qquad v = \frac{s}{t}.$$ Всё решение строится на выражении времени через путь и скорость, потому что почти всегда в условии сравниваются именно времена (одновременный выезд и одновременное прибытие означают равенство суммарного времени в пути).

2. Деление пути на части. Если путь делится на равные доли (половина, треть), удобно либо:

• обозначить весь путь как $d$ и работать с долями $\frac{d}{2}$, $\frac{d}{3}$ и т. д.;
• либо (что часто проще) принять весь путь за конкретное удобное число, например $1$ или $2$, если в задаче нет конкретных значений расстояния в километрах. Это законно, потому что скорость и время не зависят от того, в каких единицах измерен путь — главное, чтобы все доли были выражены пропорционально.

3. Равенство времени при одновременном старте и финише. Если два объекта выехали одновременно и прибыли одновременно, то суммарное время движения у них одинаково: $$t_1 = t_2.$$ Это уравнение — центральное во всех задачах такого типа.

4. Составление времени из частей. Если объект часть пути прошёл с одной скоростью, а часть — с другой, то его полное время — это сумма времён на каждом участке: $$t = \frac{s_1}{v_1} + \frac{s_2}{v_2}.$$

5. Работа с дробно-рациональными уравнениями. После составления уравнения почти всегда нужно:

• привести дробные выражения к общему знаменателю;
• умножить обе части на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей;
• раскрыть скобки и привести к стандартному виду квадратного (или линейного) уравнения;
• решить через дискриминант или теорему Виета.

6. Отбор корней по смыслу задачи. Скорость и время — величины положительные. Если квадратное уравнение даёт два корня, отрицательный или не удовлетворяющий дополнительному условию (например, «скорость больше 48 км/ч») корень отбрасывается.

Этого набора фактов достаточно: никакой более сложной теории (движение по воде, встречное движение с двумя неизвестными скоростями и т. п.) в этой конкретной подтеме не требуется — она сфокусирована именно на прямолинейном движении с делением пути на участки.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на движение по прямой почти всегда одинаков и состоит из шести шагов.

Шаг 1. Выделить неизвестную величину и ввести переменную. Обычно неизвестна именно та скорость, которую спрашивают в вопросе задачи. Обозначаем её буквой, например $v$ (км/ч).

Шаг 2. Выразить через введённую переменную все остальные величины из условия. Если сказано «скорость на 16 км/ч больше» — записываем $v+16$; если «на 13 км/ч меньше» — $v-13$. Важно точно понять, к чьей скорости относится сравнение (к первому объекту или ко второму).

Шаг 3. Определить, как делится путь, и обозначить расстояние. Если деление пути на равные доли (половина, треть), а конкретное расстояние в километрах не задано, удобно принять весь путь за число, кратное количеству долей (например, за $1$ или $2$, если путь делится на две половины). Это упрощает дальнейшие вычисления, потому что переменная-расстояние не появится в итоговом уравнении вообще, если аккуратно её сократить.

Шаг 4. Составить выражения для времени движения каждого участника. Для объекта, двигавшегося с постоянной скоростью, время — это просто $\dfrac{d}{v}$. Для объекта, менявшего скорость, время — сумма времён на каждом участке: $$t = \frac{s_1}{v_1} + \frac{s_2}{v_2}.$$

Шаг 5. Составить уравнение, используя условие «одновременно выехали — одновременно прибыли». Это условие всегда означает равенство полных времён движения: $$t_1 = t_2.$$ Здесь и рождается основное уравнение задачи.

Шаг 6. Решить уравнение и отобрать корень по смыслу. После упрощения дробного уравнения (умножение на общий знаменатель, раскрытие скобок) получается квадратное или линейное уравнение. Решаем его, находим корни, проверяем на положительность и на соответствие дополнительным условиям задачи (если они есть, например ограничение «скорость больше…»).

Этот алгоритм работает практически без исключений для всех задач подтемы, где путь делится на участки с разными скоростями, а старт и финиш синхронизированы по времени.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, и прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Шаг 1–2. Введение переменной. Обозначим скорость первого автомобиля через $v$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $v+16$ км/ч, а на первой половине — заданные $24$ км/ч.

Шаг 3. Обозначение расстояния. Общее расстояние между пунктами обозначим $d$. Каждая половина пути равна $\dfrac{d}{2}$.

Шаг 4. Время движения каждого автомобиля. Первый автомобиль движется с постоянной скоростью: $$t_1 = \frac{d}{v}.$$ Второй — сумма времён на двух половинах пути: $$t_2 = \frac{d/2}{24} + \frac{d/2}{v+16}.$$

Шаг 5. Составление уравнения. По условию $t_1 = t_2$, значит $$\frac{d}{v} = \frac{d}{48} + \frac{d}{2(v+16)}.$$ Делим обе части на $d$, так как расстояние ненулевое: $$\frac{1}{v} = \frac{1}{48} + \frac{1}{2(v+16)}.$$ Приводим правую часть к общему знаменателю $48(v+16)$: $$\frac{1}{v} = \frac{v+16+24}{48(v+16)} = \frac{v+40}{48(v+16)}.$$ Кросс-умножение даёт: $$48(v+16) = v(v+40).$$

Шаг 6. Решение уравнения. Раскрываем скобки: $$48v + 768 = v^2 + 40v,$$ $$v^2 - 8v - 768 = 0.$$ Находим дискриминант: $$D = 64 + 3072 = 3136 = 56^2.$$ $$v = \frac{8 \pm 56}{2}.$$ Получаем два корня: $v = 32$ и $v = -24$. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи, поэтому ответ: $v = 32$ км/ч.

Пример 2.

Условие: из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину — со скоростью 78 км/ч, прибыв одновременно с первым. Найдите скорость первого автомобиля, если она больше 48 км/ч.

Шаг 1–2. Введение переменной. Пусть скорость первого автомобиля — $v$ км/ч. Тогда на первой половине пути второй автомобиль движется со скоростью $v-13$ км/ч, а на второй половине — со скоростью $78$ км/ч.

Шаг 3. Упрощение через выбор удобного расстояния. Поскольку конкретное расстояние в километрах не дано, а путь делится на две равные половины, удобно принять весь путь равным $2$ условным единицам — тогда каждая половина равна $1$. Это избавляет от лишней переменной для расстояния.

Шаг 4–5. Составление уравнения равенства времени. Время первого автомобиля: $\dfrac{2}{v}$. Время второго — сумма времён на половинах: $$\frac{2}{v} = \frac{1}{v-13} + \frac{1}{78}.$$

Шаг 6. Решение уравнения. Умножаем обе части на общий знаменатель $78v(v-13)$: $$2 \cdot 78 (v-13) = 78v + v(v-13).$$ Раскрываем скобки: $$156v - 2028 = 78v + v^2 - 13v,$$ $$156v - 2028 = 65v + v^2,$$ $$v^2 - 91v + 2028 = 0.$$ Находим дискриминант: $$D = 91^2 - 4\cdot 2028 = 8281 - 8112 = 169 = 13^2.$$ $$v = \frac{91 \pm 13}{2}.$$ Получаем корни $v_1 = 52$ и $v_2 = 39$. По условию скорость должна быть больше $48$ км/ч, поэтому подходит только $v = 52$ км/ч.

Эти два примера показывают одинаковую логику: переменная — искомая скорость, время выражается через путь и скорость на каждом участке, а равенство суммарных времён даёт основное уравнение. Разница лишь в том, какая скорость известна на каком участке и есть ли дополнительное ограничение для отбора корня.

Типичные ошибки

Ошибка в интерпретации сравнения скоростей. Часто путают, к чьей скорости относится «больше» или «меньше» на определённое число км/ч. В примере 2 скорость второго автомобиля на первой половине пути меньше скорости первого автомобиля, а не наоборот — важно перечитать формулировку и явно записать, какая скорость от какой зависит.

Потеря множителя при делении пути на части. Если путь делится на половины или трети, легко забыть разделить путь именно на нужное количество равных частей или, наоборот, применить деление там, где в условии указано конкретное расстояние в километрах, а не доля пути.

Неверное объединение времени в одно выражение. Иногда вместо суммы времён на разных участках ошибочно берут среднюю скорость движения (например, среднее арифметическое $24$ и $v+16$). Средняя скорость на неравных участках времени — это не среднее арифметическое скоростей, а отношение всего пути ко всему времени, поэтому такой короткий путь всегда даёт неверный ответ.

Игнорирование отрицательного или лишнего корня. Квадратное уравнение обычно даёт два корня, но физический смысл скорости требует положительного значения, а дополнительное условие в задаче (например, «скорость больше 48 км/ч») может отбрасывать второй положительный корень. Пропуск этой проверки — частая причина неверного ответа при, казалось бы, правильно решённом уравнении.

Ошибки при упрощении дробных уравнений. При умножении на общий знаменатель легко забыть про один из членов уравнения или неверно раскрыть скобки со знаком минус. Рекомендуется выполнять это преобразование поэтапно, а не «в одну строчку».

Путаница с единицами измерения. Если в условии скорость дана в км/ч, а расстояние — в метрах или наоборот, необходимо привести все величины к единой системе единиц до составления уравнения.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задачи на прямолинейное движение на экзамене стоит придерживаться нескольких практических правил, которые снижают риск ошибки и экономят время.

Во-первых, сразу выписывайте все известные скорости и их зависимости друг от друга в виде алгебраических выражений — не держите их в голове, а фиксируйте на бумаге прямо рядом с условием. Это особенно важно, когда в задаче участвуют два автомобиля с несколькими участками движения, как в разобранных примерах.

Во-вторых, если конкретная величина расстояния не задана, не бойтесь заменить путь удобным числом (1, 2, 100) — это законный приём, значительно упрощающий вычисления, поскольку сама длина маршрута в итоге сокращается из уравнения. Главное — сохранить пропорции долей пути (половина, треть) относительно выбранного числа.

В-третьих, после составления основного уравнения обязательно проверяйте его на «физическую разумность»: время не может быть отрицательным, скорость не может быть равна нулю или отрицательной. Если после решения квадратного уравнения получились два корня, всегда возвращайтесь к тексту задачи — часто там присутствует скрытое или явное ограничение (например, «скорость больше…», «известно, что скорость целое число» и т. п.), которое однозначно определяет, какой из корней брать в ответ.

В-четвёртых, полезно на черновике сразу подставить найденный ответ обратно в текст задачи и проверить логическую согласованность: если скорость первого автомобиля равна 32 км/ч, то скорость второго на втором участке составит 48 км/ч, и стоит прикинуть, действительно ли при таких числах время движения совпадает. Такая быстрая устная проверка занимает меньше минуты, но исключает арифметические промахи.

Наконец, не пытайтесь запомнить готовые формулы для частных случаев (типа «формула для скорости при делении пути на две половины») — в задании 10 условия каждый раз меняются в деталях (доли пути, дополнительные ограничения, кто быстрее кого), и надёжнее один раз усвоить сам алгоритм перевода текста в уравнение через равенство времени, чем держать в голове десятки частных формул.