Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость третьего велосипедиста как $v$ км/ч, а время его движения до встречи со вторым велосипедистом как $t$ часов.

Встреча третьего со вторым велосипедистом: Когда третий велосипедист начинает движение, второй уже ехал 1 час (так как выехал на час раньше). За время $t$ третий проезжает то же расстояние, что второй за время $(t+1)$: $$vt = 10(t+1)$$ $$v = \frac{10(t+1)}{t}$$

Встреча третьего с первым велосипедистом: Это происходит через $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ часа после встречи со вторым. К этому моменту третий движется уже время $t + \frac{7}{3}$ часов.

Первый велосипедист выехал раньше всех, поэтому его общее время в пути: $t + \frac{7}{3} + 2$ часов (так как третий начал через 2 часа после первого).

Расстояния равны: $$v\left(t + \frac{7}{3}\right) = 15\left(t + \frac{7}{3} + 2\right)$$ $$v\left(t + \frac{7}{3}\right) = 15\left(t + \frac{13}{3}\right)$$

Подстановка и решение: Подставляем $v = \frac{10(t+1)}{t}$: $$\frac{10(t+1)(3t+7)}{3t} = 15(3t+13)/3$$ $$\frac{10(t+1)(3t+7)}{3t} = 5(3t+13)$$ $$10(t+1)(3t+7) = 15t(3t+13)$$ $$10(3t^2 + 10t + 7) = 45t^2 + 195t$$ $$30t^2 + 100t + 70 = 45t^2 + 195t$$ $$3t^2 + 19t - 14 = 0$$

По формуле корней: $t = \frac{-19 \pm \sqrt{361 + 168}}{6} = \frac{-19 \pm 23}{6}$

Получаем $t = \frac{2}{3}$ или $t = -7$. Берём положительное значение: $t = \frac{2}{3}$ часа.

Нахождение скорости: $$v = \frac{10(\frac{2}{3}+1)}{\frac{2}{3}} = \frac{10 \cdot \frac{5}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{50}{3} \cdot \frac{3}{2} = 25 \text{ км/ч}$$