Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость первого автомобиля за $v$ км/ч. Тогда скорость второго на второй половине пути составляет $v + 16$ км/ч.

Шаг 1: Установление равенства времён. Поскольку оба автомобиля выехали одновременно и прибыли одновременно, время в пути у них одинаково. Обозначим расстояние между пунктами за $d$. Тогда: $$t_1 = \frac{d}{v}$$

Для второго автомобиля время складывается из времени на каждой половине пути: $$t_2 = \frac{d/2}{24} + \frac{d/2}{v+16}$$

Шаг 2: Приравнивание времён. Поскольку $t_1 = t_2$: $$\frac{d}{v} = \frac{d}{48} + \frac{d}{2(v+16)}$$

Делим обе части на $d$ (расстояние ненулевое): $$\frac{1}{v} = \frac{1}{48} + \frac{1}{2(v+16)}$$

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю. Приведём правую часть: $$\frac{1}{v} = \frac{v+16 + 24}{48(v+16)} = \frac{v+40}{48(v+16)}$$

Шаг 4: Кросс-умножение. $$48(v+16) = v(v+40)$$ $$48v + 768 = v^2 + 40v$$ $$v^2 - 8v - 768 = 0$$

Шаг 5: Решение квадратного уравнения. По теореме Виета или через дискриминант: $$v = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3072}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{3136}}{2} = \frac{8 \pm 56}{2}$$

Получаем $v = 32$ или $v = -24$. Так как скорость положительна, $v = 32$ км/ч.