Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость первого автомобиля через $v$ км/ч. Второй автомобиль едет на первой половине пути со скоростью $(v - 13)$ км/ч, на второй половине — со скоростью $78$ км/ч.

Примем расстояние между пунктами за $2$ условные единицы, тогда каждая половина пути равна $1$ единице. Это упрощает уравнение, избавляя от полной длины.

Поскольку оба автомобиля прибыли одновременно, время в пути для них одинаково: $$\frac{2}{v} = \frac{1}{v-13} + \frac{1}{78}$$

Умножим обе части на общий знаменатель $v(v-13) \cdot 78$: $$2 \cdot 78(v-13) = 78v + v(v-13)$$

Раскроем скобки: $$156v - 2028 = 78v + v^2 - 13v$$

Приведём к стандартному виду: $$156v - 2028 = 65v + v^2$$ $$0 = v^2 - 91v + 2028$$

По теореме Виета или через дискриминант получаем: $$D = 91^2 - 4 \cdot 2028 = 8281 - 8112 = 169 = 13^2$$

$$v = \frac{91 \pm 13}{2}$$

Отсюда $v_1 = 52$ км/ч и $v_2 = 39$ км/ч.

По условию $v > 48$, поэтому $v = 52$ км/ч.